Determine os equivalentes de Thévenin e Norton do circuito, visto por um elemento não especificado conectado entre os terminais a e b.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar os equivalentes de Thévenin e de Norton do circuito visto pelos terminais
e
.
Informações dadas no enunciado / figura (lista de dados relevantes que vou usar):
- Os terminais do circuito são
(lado esquerdo, pólo positivo de ) e (lado direito, pólo negativo de ). A tensão entre eles é (com em e em ). - Entre os nós superiores
e há um resistor de . - No ramo esquerdo inferior há uma fonte de tensão dependente (diamante) cuja tensão, com o sinal mostrado (menos em cima e mais em baixo), vale
. Ou seja, - Abaixo da fonte dependente há um resistor de
que leva a um nó inferior esquerdo que chamarei de . - Entre o nó inferior esquerdo
e o nó inferior direito (que é o mesmo nó de , já que a coluna direita é um fio vertical) existem dois elementos em paralelo: - um resistor de
; - uma fonte de corrente dependente (diamante) com flecha para a esquerda e intensidade
(ou seja, do nó direito para o nó esquerdo, com valor proporcional a ).
- um resistor de
- Não há fontes independentes no circuito (apenas as dependentes acima). O que será pedido explicitamente:
- achar a tensão de Thévenin
entre e ; - achar a resistência de Thévenin
; - apresentar o equivalente de Norton correspondente (corrente de Norton
e resistência ).
- achar a tensão de Thévenin
Observação útil antes de iniciar: por causa das fontes dependentes, o procedimento para
será usar uma fonte de teste entre
e
(ou calcular a corrente de curto) — não dá para simplesmente “desligar fontes” porque as dependentes permanecem ativas.
Passo 2
Encontrar a tensão de circuito aberto
(ou seja, a tensão
quando nada está conectado entre
e
).
Estratégia e variáveis:
- Tomarei
como referência (terra). Então . - Denoto
o potencial no ponto entre a fonte dependente e o resistor de (a parte inferior da fonte dependente); pela polaridade indicada da fonte dependente vale Como temos - Denoto
o potencial do nó inferior esquerdo (no topo do paralelo e da fonte de corrente dependente). O nó inferior direito é o mesmo que , portanto vale .
Escrever a equação de KCL no nó
. No nó
há três correntes saindo (ou entrando) possíveis:
- pela resistência
até : corrente (do nó para ) é ; - pela resistência
até o nó direito (terra): ; - pela fonte de corrente dependente: a fonte está orientada da direita para a esquerda com intensidade
. Assim a corrente do nó para o nó direito (sentido L→direita) é o negativo dessa fonte, isto é .
Aplicando KCL (somando correntes saindo de
e igualando a zero):
Substituindo
:
Multiplicando por
(mcm de
e
) para evitar decimais:
Desenvolvendo:
Logo
Agora escrevo a equação de KCL do supernó formado por
(nó superior esquerdo) e
(pois a fonte dependente conecta diretamente esses dois nós): a única corrente saindo do supernó são
- pela resistência
do nó para : ; - pela resistência
do nó para : .
Portanto, KCL do supernó:
Substituo
e
dado por (1). Fazendo isso, no lado esquerdo ficará um fator multiplicando
. Se eu calcular explicitamente esse fator encontro número diferente de zero, logo a única forma de igualdade ser verdadeira é
. Em outras palavras as duas equações juntas implicam que
deve ser zero.
Para ser explícito: usando (1) na equação do supernó daria
o que simplifica para
O termo entre parênteses é diferente de zero (pode ser verificado numericamente), então a única solução é
Conclusão deste passo: a tensão de circuito aberto é nula, portanto
Comentário intuitivo rápido (didático): mesmo havendo fontes dependentes, a malha formada e os sinais levam a uma auto-consistência em que o potencial entre
e
fica zero quando nada é conectado — as fontes dependentes “se cancelam” nessa condição de circuito aberto.
Passo 3
Calcular a resistência de Thévenin
. Como há fontes dependentes, uso a técnica do “teste”: coloco uma fonte de referência de
entre
e
(positiva em
, negativa em
) e calculo a corrente resultante
. Então
Com
e
:
- a dependente de tensão vale
. Assim . - a fonte de corrente dependente vale
(flecha da direita para a esquerda).
Reescrevo a equação de KCL em
para este caso numérico:
Multiplico por
:
Agora calculo as correntes que saem do terminal
(estas correntes são fornecidas pela fonte teste de
):
- corrente pelo resistor
(de para ): - corrente que desce pelo ramo com a fonte dependente e o
(corrente através de do nó para ): Calcular exatamente : escrevendo com denominador , Portanto
A corrente total fornecida pela fonte de teste (saindo do terminal positivo
) é a soma
Colocando em um único denominador dá
Portanto a resistência equivalente é
Posso apresentar também a aproximação arredondada com duas casas:
Passo 4
Construir o equivalente de Norton a partir do resultado:
- A corrente de Norton
é a corrente de curto-circuito entre e . Para obter basta colocar curto entre e (isto é, ). Mas com todas as fontes dependentes ficam com valores zero (pois ambas dependem de ), não há fontes independentes, logo não há nenhuma fonte para gerar corrente: o curto não produzirá corrente. Concluímos - A resistência de Norton é a mesma de Thévenin:
Comentário prático: o equivalente de Thévenin com
é simplesmente uma resistência
entre
e
(uma fonte de tensão nula em série com
). O equivalente de Norton com
é uma resistência
entre
e
(uma fonte de corrente nula em paralelo com
), ambas representações são equivalentes.
Resposta
Thévenin:
Thévenin:
Thévenin:
Norton:
Norton:
Norton: