Determine os equivalentes de Thévenin e Norton do circuito, visto por um elemento não especificado conectado entre os terminais a e b.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar os equivalentes de Thévenin e de Norton do circuito visto pelos terminais a e b.
Informações dadas no enunciado / figura (lista de dados relevantes que vou usar):
  • Os terminais do circuito são a (lado esquerdo, pólo positivo de v_{ab}) e b (lado direito, pólo negativo de v_{ab}). A tensão entre eles é \;v_{ab}=V_a-V_b\; (com + em a e - em b).
  • Entre os nós superiores a e b há um resistor de 15\\ \Omega.
  • No ramo esquerdo inferior há uma fonte de tensão dependente (diamante) cuja tensão, com o sinal mostrado (menos em cima e mais em baixo), vale \;0{,}5\,v_{ab}\;. Ou seja, V_{\text{bottom da fonte}} - V_a = 0{,}5\,v_{ab}.
  • Abaixo da fonte dependente há um resistor de 20\\ \Omega que leva a um nó inferior esquerdo que chamarei de L.
  • Entre o nó inferior esquerdo L e o nó inferior direito (que é o mesmo nó de b, já que a coluna direita é um fio vertical) existem dois elementos em paralelo:
    • um resistor de 11\\ \Omega;
    • uma fonte de corrente dependente (diamante) com flecha para a esquerda e intensidade \;0{,}11\,v_{ab}\; (ou seja, do nó direito para o nó esquerdo, com valor proporcional a v_{ab}).
  • Não há fontes independentes no circuito (apenas as dependentes acima). O que será pedido explicitamente:
    • achar a tensão de Thévenin V_{th} entre a e b;
    • achar a resistência de Thévenin R_{th};
    • apresentar o equivalente de Norton correspondente (corrente de Norton I_N e resistência R_N).
Observação útil antes de iniciar: por causa das fontes dependentes, o procedimento para R_{th} será usar uma fonte de teste entre a e b (ou calcular a corrente de curto) — não dá para simplesmente “desligar fontes” porque as dependentes permanecem ativas.

Passo 2

Encontrar a tensão de circuito aberto V_{oc}=V_{th}=v_{ab} (ou seja, a tensão v_{ab} quando nada está conectado entre a e b).
Estratégia e variáveis:
  • Tomarei V_b=0 como referência (terra). Então V_a=v_{ab}.
  • Denoto V_{\text{bot}} o potencial no ponto entre a fonte dependente e o resistor de 20\\ \Omega (a parte inferior da fonte dependente); pela polaridade indicada da fonte dependente vale V_{\text{bot}}-V_a = 0{,}5\,v_{ab}.Como V_a=v_{ab} temos V_{\text{bot}} = v_{ab} + 0{,}5\,v_{ab} = 1{,}5\,v_{ab}.
  • Denoto V_L o potencial do nó inferior esquerdo (no topo do paralelo 11\\ \Omega e da fonte de corrente dependente). O nó inferior direito é o mesmo que b, portanto vale 0.
Escrever a equação de KCL no nó L. No nó L há três correntes saindo (ou entrando) possíveis:
  • pela resistência 20\\ \Omega até V_{\text{bot}}: corrente (do nó L para V_{\text{bot}}) é \dfrac{V_L-V_{\text{bot}}}{20};
  • pela resistência 11\\ \Omega até o nó direito (terra): \dfrac{V_L-0}{11}=\dfrac{V_L}{11};
  • pela fonte de corrente dependente: a fonte está orientada da direita para a esquerda com intensidade 0{,}11\,v_{ab}. Assim a corrente do nó L para o nó direito (sentido L→direita) é o negativo dessa fonte, isto é -0{,}11\,v_{ab}.
Aplicando KCL (somando correntes saindo de L e igualando a zero):
\frac{V_L-V_{\text{bot}}}{20}+\frac{V_L}{11}-0{,}11\,v_{ab}=0.
Substituindo V_{\text{bot}}=1{,}5\,v_{ab}:
\frac{V_L-1{,}5\,v_{ab}}{20}+\frac{V_L}{11}-0{,}11\,v_{ab}=0.
Multiplicando por 220 (mcm de 20 e 11) para evitar decimais:
11(V_L-1{,}5\,v_{ab})+20V_L-24{,}2\,v_{ab}=0.
Desenvolvendo:
11V_L-16{,}5\,v_{ab}+20V_L-24{,}2\,v_{ab}=0
31V_L-(16{,}5+24{,}2)\,v_{ab}=31V_L-40{,}7\,v_{ab}=0
Logo
V_L=\frac{40{,}7}{31}\,v_{ab}. \qquad(1)
Agora escrevo a equação de KCL do supernó formado por V_a (nó superior esquerdo) e V_{\text{bot}} (pois a fonte dependente conecta diretamente esses dois nós): a única corrente saindo do supernó são
  • pela resistência 15\\ \Omega do nó a para b: \dfrac{V_a-V_b}{15}=\dfrac{v_{ab}}{15};
  • pela resistência 20\\ \Omega do nó V_{\text{bot}} para V_L: \dfrac{V_{\text{bot}}-V_L}{20}.
Portanto, KCL do supernó:
\frac{v_{ab}}{15}+\frac{V_{\text{bot}}-V_L}{20}=0.
Substituo V_{\text{bot}}=1{,}5\,v_{ab} e V_L dado por (1). Fazendo isso, no lado esquerdo ficará um fator multiplicando v_{ab}. Se eu calcular explicitamente esse fator encontro número diferente de zero, logo a única forma de igualdade ser verdadeira é v_{ab}=0. Em outras palavras as duas equações juntas implicam que v_{ab} deve ser zero.
Para ser explícito: usando (1) na equação do supernó daria
\frac{v_{ab}}{15}+\frac{1{,}5\,v_{ab}-\tfrac{40{,}7}{31}v_{ab}}{20}=0
o que simplifica para
v_{ab}\left(\frac{1}{15}+\frac{1{,}5-\tfrac{40{,}7}{31}}{20}\right)=0.
O termo entre parênteses é diferente de zero (pode ser verificado numericamente), então a única solução é
\boxed{v_{ab}=0.}
Conclusão deste passo: a tensão de circuito aberto é nula, portanto
\boxed{V_{th}=V_{oc}=0\\ \text{V}.}
Comentário intuitivo rápido (didático): mesmo havendo fontes dependentes, a malha formada e os sinais levam a uma auto-consistência em que o potencial entre a e b fica zero quando nada é conectado — as fontes dependentes “se cancelam” nessa condição de circuito aberto.

Passo 3

Calcular a resistência de Thévenin R_{th}. Como há fontes dependentes, uso a técnica do “teste”: coloco uma fonte de referência de 1\\ \text{V} entre a e b (positiva em a, negativa em b) e calculo a corrente resultante I_{test}. Então
R_{th}=\frac{V_{test}}{I_{test}}=\frac{1}{I_{test}}.
Com V_a=1\\ \text{V} e V_b=0:
  • a dependente de tensão vale 0{,}5\,v_{ab}=0{,}5\cdot 1=0{,}5\\ \text{V}. Assim V_{\text{bot}}=V_a+0{,}5=1{,}5\\ \text{V}.
  • a fonte de corrente dependente vale 0{,}11\,v_{ab}=0{,}11\cdot 1=0{,}11\\ \text{A} (flecha da direita para a esquerda).
Reescrevo a equação de KCL em L para este caso numérico:
\frac{V_L-1{,}5}{20}+\frac{V_L}{11}-0{,}11=0.
Multiplico por 220:
11(V_L-1{,}5)+20V_L-24{,}2=0
31V_L-40{,}7=0
V_L=\frac{40{,}7}{31}= \frac{407}{310}\\ \text{V}\approx 1{,}313548\\ \text{V}.
Agora calculo as correntes que saem do terminal a (estas correntes são fornecidas pela fonte teste de 1\\ \text{V}):
  • corrente pelo resistor 15\\ \Omega (de a para b): i_{15}=\frac{V_a-V_b}{15}=\frac{1}{15}\\ \text{A}.
  • corrente que desce pelo ramo com a fonte dependente e o 20\\ \Omega (corrente através de 20\\ \Omega do nó V_{\text{bot}} para L): i_{20}=\frac{V_{\text{bot}}-V_L}{20}=\frac{1{,}5-\tfrac{407}{310}}{20}.Calcular exatamente V_{\text{bot}}-V_L: escrevendo com denominador 310, 1{,}5=\frac{465}{310},\qquad V_{\text{bot}}-V_L=\frac{465-407}{310}=\frac{58}{310}=\frac{29}{155}.Portanto i_{20}=\frac{29}{155}\cdot\frac{1}{20}=\frac{29}{3100}\\ \text{A}.
A corrente total fornecida pela fonte de teste (saindo do terminal positivo a) é a soma
I_{test}=i_{15}+i_{20}=\frac{1}{15}+\frac{29}{3100}.
Colocando em um único denominador dá
I_{test}=\frac{3535}{46500}=\frac{707}{9300}\\ \text{A}.
Portanto a resistência equivalente é
R_{th}=\frac{1}{I_{test}}=\frac{9300}{707}\\ \Omega\approx 13{,}158\\ \Omega.
Posso apresentar também a aproximação arredondada com duas casas:
\boxed{R_{th}\approx 13{,}16\\ \Omega.}

Passo 4

Construir o equivalente de Norton a partir do resultado:
  • A corrente de Norton I_N é a corrente de curto-circuito entre a e b. Para obter I_{sc} basta colocar curto entre a e b (isto é, v_{ab}=0). Mas com v_{ab}=0 todas as fontes dependentes ficam com valores zero (pois ambas dependem de v_{ab}), não há fontes independentes, logo não há nenhuma fonte para gerar corrente: o curto não produzirá corrente. Concluímos \boxed{I_N=I_{sc}=0\\ \text{A}.}
  • A resistência de Norton é a mesma de Thévenin: \boxed{R_N=R_{th}=\frac{9300}{707}\\ \Omega\approx 13{,}16\\ \Omega.}
Comentário prático: o equivalente de Thévenin com V_{th}=0 é simplesmente uma resistência R_{th} entre a e b (uma fonte de tensão nula em série com R_{th}). O equivalente de Norton com I_N=0 é uma resistência R_N entre a e b (uma fonte de corrente nula em paralelo com R_N), ambas representações são equivalentes.

Resposta

Thévenin: V_{th}=0\\ \text{V}
Thévenin: R_{th}=\dfrac{9300}{707}\\ \Omega\approx 13{,}16\\ \Omega
Norton: I_{N}=0\\ \text{A}
Norton: R_{N}=\dfrac{9300}{707}\\ \Omega\approx 13{,}16\\ \Omega

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