Obtenha um valor para a resistência equivalente de Thévenin vista a partir dos terminais abertos no circuito. (a) Encontre V_{c a} e I_{c c}, e, em seguida, obtenha a razão entre eles, (b) ajuste todas as fontes independentes em zero e use técnicas de combinação de resistores, (c) conecte uma fonte de corrente desconhecida nos terminais, desativando (zerando) todas as outras fontes, encontre uma expressão algébrica para a tensão que se desenvolve na fonte e obtenha a razão entre as duas grandezas.

Passo 1

O enunciado pede que obtenhamos a resistência equivalente de Thévenin vista a partir dos terminais (direita) do circuito por três abordagens diferentes. As perguntas específicas são:
  • (a) Encontrar V_{c a} (tensão nos terminais abertos) e I_{c c} (corrente de curto-circuito entre os terminais) e então tomar a razão entre eles.
  • (b) Zerar todas as fontes independentes e usar combinações de resistores para obter a resistência equivalente vista dos terminais.
  • (c) Conectar uma fonte de corrente desconhecida nos terminais, desativar todas as outras fontes, encontrar a expressão algébrica da tensão na fonte em função da corrente aplicada e obter a razão tensão/corrente.
Informações dadas (retiradas da figura do circuito):
  • Fontes independentes: uma fonte de corrente de \,222\\ \text{A} (seta para cima) conectada entre o nó superior esquerdo e o nó de referência (terra); uma fonte de tensão de \,20\\ \text{V} entre o nó superior central e o terra (polaridade com o terminal positivo no nó superior); e uma fonte de corrente de \,33\\ \text{A} (seta para baixo) conectada entre o nó superior mais à direita e o terra.
  • Resistores: \,6\\ \Omega entre o nó superior esquerdo e o terra; \,17\\ \Omega em série entre o nó esquerdo e o nó central; \,9\\ \Omega em série entre o nó central e o nó direito; \,4\\ \Omega do nó direito ao terra; \,2\\ \Omega do mesmo nó direito ao terra; (os nós superiores formam uma linha série com ramificações para terra).
  • Os terminais onde queremos a Thévenin ficam no nó superior direito (nó que tem os \,4\\ \Omega e \,2\\ \Omega e a fonte de corrente de \,33\\ \text{A}) em relação ao terra.
Observação: Não inicio a resolução aqui; apenas enumerei o que o enunciado pede e listei os dados relevantes.

Passo 2

Planejamento do método (sem resolver ainda): para (a) usaremos análise nodal (método muito direto aqui) para calcular a tensão em circuito aberto no nó de saída e depois a corrente com os terminais em curto; para (b) desativaremos fontes independentes ( \text{fonte de tensão} \toã curto, \text{fontes de corrente} \to circuito aberto) e faremos combinações em paralelo/série; para (c) com as fontes desativadas o nó de saída fica apenas com resistores paralelos, portanto resposta direta V em função de I_x será usando R_{\text{eq}} paralelo.
Breve revisão de conceitos usados (didática rápida):
  • Análise nodal / Lei de Correntes de Kirchhoff (KCL): em um nó, a soma algébrica das correntes que saem (ou entram) é igual à soma das correntes injetadas (ou zero, dependendo da convenção). Para um resistor conectado entre dois nós de tensões \,V_1 e \,V_2, a corrente do nó 1 para o nó 2 é \,(V_1-V_2)/R.
  • Resistores em paralelo: \displaystyle R_{\text{eq}}=\left(\sum_{i}\frac{1}{R_i}\right)^{-1}.
  • Para obter R_{th} basta \displaystyle R_{th}=\frac{V_{oc}}{I_{sc}} (tensão a circuito aberto dividida pela corrente com terminais em curto), ou então desativar fontes e calcular resistência equivalente vista dos terminais.

Passo 3

Definir nós e variáveis (para aplicar nodal):
  • Chamo o nó superior esquerdo de A (tem o resistor \,6\\ \Omega ao terra e é alimentado pela fonte de corrente \,222\\ \text{A}); o nó central como B (nó conectado ao terra pela fonte de tensão de \,20\\ \text{V}, com polaridade \,+ em B); o nó superior direito (os terminais) chamo de C (tem \,4\\ \Omega, \,2\\ \Omega ao terra e a fonte de corrente de \,33\\ \text{A} entre C e terra). A topologia tem \,17\\ \Omega entre A e B e \,9\\ \Omega entre B e C.
Fixo a referência (terra) como o nó inferior comum. A fonte de tensão faz com que
V_B=20\\ \text{V}.
Queremos primeiro V_C quando os terminais estão em circuito aberto (nenhuma corrente externa entrando em C).

Passo 4

Formular as equações nodais (circuito em aberto):
  • No nó A: há corrente injetada \,222\\ \text{A} vinda do terra para o nó (seta para cima). As correntes que saem do nó A são pela resistência \,6\\ \Omega para o terra e pela \,17\\ \Omega para o nó B. Aplicando KCL (correntes saindo = corrente injetada):
\frac{V_A}{6}+\frac{V_A-V_B}{17}=222.
Expliquei: \displaystyle \frac{V_A}{6} é a corrente de A para terra pelo resistor de \,6\\ \Omega e \displaystyle \frac{V_A-V_B}{17} é a corrente de A para B pelo \,17\\ \Omega.
  • No nó C: não há corrente externa entrando (circuito aberto), as correntes saindo são pelos resistores \,4\\ \Omega e \,2\\ \Omega para o terra, pela \,9\\ \Omega para o nó B, e ainda a fonte de corrente de \,33\\ \text{A} que empurra \,33\\ \text{A} para baixo (ou seja, é uma corrente saindo do nó C para o terra). Logo a equação KCL (somando correntes que saem e igualando a zero, pois não há injeção externa) fica:
\frac{V_C}{4}+\frac{V_C}{2}+\frac{V_C-V_B}{9}+33=0.
Expliquei: os três termos de resistor são correntes que saem do nó C; o termo +33 representa a corrente da fonte de corrente que sai do nó para o terra.
Lembrando que V_B=20\\ \text{V}. As incógnitas são V_A e V_C.

Passo 5

Resolver a equação do nó A de forma exata (frações):
A equação
\frac{V_A}{6}+\frac{V_A-V_B}{17}=222
coloco em denominador comum:
\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{17}\right)V_A-\frac{V_B}{17}=222.
Calculo as frações:
\frac{1}{6}+\frac{1}{17}=\frac{17+6}{102}=\frac{23}{102}.
Substituo V_B=20 e resolvo:
\frac{23}{102}V_A-\frac{20}{17}=222
\frac{23}{102}V_A=222+\frac{20}{17}=\frac{3794}{17}
V_A=\frac{3794}{17}\cdot\frac{102}{23}=\frac{3794\cdot 6}{23}=\frac{22764}{23}.
Portanto, valor exato
V_A=\frac{22764}{23}\\ \text{V}\approx 990{,}6086957\\ \text{V}.

Passo 6

Resolver a equação do nó C de forma exata:
A equação
\frac{V_C}{4}+\frac{V_C}{2}+\frac{V_C-V_B}{9}+33=0
agrupo os termos em V_C:
\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)V_C-\frac{V_B}{9}+33=0.
Calculo as frações:
\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{9}=\frac{9+18+4}{36}=\frac{31}{36}.
Substituo V_B=20:
\frac{31}{36}V_C-\frac{20}{9}+33=0.
Coloco os termos num único lado:
\frac{31}{36}V_C +\left(33-\frac{20}{9}\right)=0.
Calculo 33-\dfrac{20}{9}=\dfrac{297-20}{9}=\dfrac{277}{9}. Logo
\frac{31}{36}V_C +\frac{277}{9}=0
V_C=-\frac{277}{9}\cdot\frac{36}{31}=-\frac{1108}{31}\\ \text{V}.
Numericamente,
V_C\approx -35{,}74193548\\ \text{V}.
Esse é o valor da tensão nos terminais com circuito aberto. Em notação pedida, V_{c a}=V_C=-\dfrac{1108}{31}\\ \text{V}.

Passo 7

Calcular a corrente de curto-circuito I_{c c} (curto entre terminal e terra):
Agora curto os terminais: isso impõe V_C=0. As fontes permanecem ativas (aquela de 222\\ \text{A} e a de 20\\ \text{V} e a de 33\\ \text{A}). Como o curto força V_C=0, usamos a equação do nó C com V_C=0 para achar a corrente que flui pelo curto (denoto essa corrente por I_{c c}; tomo como positivo a corrente saindo do nó C para o terra através do curto, por convenção).
A equação nodal geral era:
\frac{V_C}{4}+\frac{V_C}{2}+\frac{V_C-V_B}{9}+33+I_{c c}=0,
onde I_{c c} é a corrente pelo curto (saindo do nó). Substituindo V_C=0 e V_B=20:
0+0+\frac{0-20}{9}+33+I_{c c}=0
-\frac{20}{9}+33+I_{c c}=0
I_{c c}=-33+\frac{20}{9}=-\frac{277}{9}\\ \text{A}.
Numericamente,
I_{c c}\approx -30{,}77777778\\ \text{A}.
O sinal negativo indica que, com a convenção adotada (positiva saindo do nó pelo curto), a corrente realmente flui no sentido oposto — em outras palavras, há \,30{,}77777778\\ \text{A} entrando no nó a partir do curto (magnitude importante para a razão). Em notação pedida, I_{c c}=-\dfrac{277}{9}\\ \text{A}.

Passo 8

Calcular a razão R_{th}=\dfrac{V_{oc}}{I_{sc}} a partir dos resultados do item (a):
Usando os valores exatos obtidos:
V_{oc}=V_C=-\frac{1108}{31}\\ \text{V},\qquad I_{sc}=I_{c c}=-\frac{277}{9}\\ \text{A}.
A razão é
\frac{V_{oc}}{I_{sc}}=\frac{-\dfrac{1108}{31}}{-\dfrac{277}{9}} =\frac{1108}{31}\cdot\frac{9}{277}.
Note que 1108=4\cdot 277, então simplifica:
\frac{1108}{31}\cdot\frac{9}{277}=\frac{4\cdot 277}{31}\cdot\frac{9}{277}=\frac{36}{31}.
Logo
R_{th}=\frac{36}{31}\\ \Omega\approx 1{,}1612903226\\ \Omega.

Passo 9

Resolver (b) — zerar fontes independentes e combinar resistores:
  • Zerar a fonte de tensão de \,20\\ \text{V} significa substituí-la por um curto entre B e o terra ( V_B=0).
  • Zerar as fontes de corrente (independentes) significa abri-las (circuito aberto) — portanto as fontes de \,222\\ \text{A} e \,33\\ \text{A} ficam abertas e não contribuem.
Com isso, olhando para os terminais (nó C), os resistores conectados ao nó são:
  • \,9\\ \Omega entre C e B com B agora curto ao terra (logo \,9\\ \Omega conecta C diretamente ao terra);
  • \,4\\ \Omega entre C e terra;
  • \,2\\ \Omega entre C e terra.
Assim, a resistência vista é simplesmente o paralelo de \,9\\ \Omega, \,4\\ \Omega e \,2\\ \Omega:
R_{th}=\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)^{-1} =\left(\frac{4+9+18}{36}\right)^{-1}=\left(\frac{31}{36}\right)^{-1}=\frac{36}{31}\\ \Omega.
Confirmação: resultado idêntico obtido em (a).

Passo 10

Resolver (c) — conectar uma fonte de corrente desconhecida I_x nos terminais com outras fontes desativadas:
  • Desativo (zero) as fontes independentes externas: a fonte de tensão é substituída por um curto; as fontes de corrente são abertas.
  • Então, o nó C fica conectado ao terra apenas pelos resistores \,9\\ \Omega, \,4\\ \Omega e \,2\\ \Omega em paralelo.
  • Se eu conectar uma fonte de corrente I_x no terminal que injeta corrente no nó C, a tensão V no nó (tensão sobre a fonte) será dada por a lei de Ohm aplicada à resistência equivalente vista pelo nó:
V=I_x\cdot R_{\text{eq}}.
Como já calculamos,
R_{\text{eq}}=R_{th}=\frac{36}{31}\\ \Omega,
logo
V=I_x\cdot\frac{36}{31}.
A razão tensão/corrente pedida é, portanto,
\frac{V}{I_x}=\frac{36}{31}\\ \Omega,
igual aos resultados anteriores.

Resposta

(a) V_{c a}=-\dfrac{1108}{31}\\ \text{V}\approx -35{,}74193548\\ \text{V}; I_{c c}=-\dfrac{277}{9}\\ \text{A}\approx -30{,}77777778\\ \text{A}; razão \dfrac{V_{c a}}{I_{c c}}=\dfrac{36}{31}\\ \Omega\approx 1{,}16129\\ \Omega
(b) R_{th}=\dfrac{36}{31}\\ \Omega\approx 1{,}16129\\ \Omega
(c) Com fontes desativadas, V=I_x\cdot\dfrac{36}{31} e \dfrac{V}{I_x}=\dfrac{36}{31}\\ \Omega

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