Obtenha um valor para a resistência equivalente de Thévenin vista a partir dos terminais abertos no circuito. (a) Encontre
e
, e, em seguida, obtenha a razão entre eles, (b) ajuste todas as fontes independentes em zero e use técnicas de combinação de resistores, (c) conecte uma fonte de corrente desconhecida nos terminais, desativando (zerando) todas as outras fontes, encontre uma expressão algébrica para a tensão que se desenvolve na fonte e obtenha a razão entre as duas grandezas.
Passo 1
O enunciado pede que obtenhamos a resistência equivalente de Thévenin vista a partir dos terminais (direita) do circuito por três abordagens diferentes. As perguntas específicas são:
- (a) Encontrar
(tensão nos terminais abertos) e (corrente de curto-circuito entre os terminais) e então tomar a razão entre eles. - (b) Zerar todas as fontes independentes e usar combinações de resistores para obter a resistência equivalente vista dos terminais.
- (c) Conectar uma fonte de corrente desconhecida nos terminais, desativar todas as outras fontes, encontrar a expressão algébrica da tensão na fonte em função da corrente aplicada e obter a razão tensão/corrente.
Informações dadas (retiradas da figura do circuito):
- Fontes independentes: uma fonte de corrente de
(seta para cima) conectada entre o nó superior esquerdo e o nó de referência (terra); uma fonte de tensão de entre o nó superior central e o terra (polaridade com o terminal positivo no nó superior); e uma fonte de corrente de (seta para baixo) conectada entre o nó superior mais à direita e o terra. - Resistores:
entre o nó superior esquerdo e o terra; em série entre o nó esquerdo e o nó central; em série entre o nó central e o nó direito; do nó direito ao terra; do mesmo nó direito ao terra; (os nós superiores formam uma linha série com ramificações para terra). - Os terminais onde queremos a Thévenin ficam no nó superior direito (nó que tem os
e e a fonte de corrente de ) em relação ao terra.
Observação: Não inicio a resolução aqui; apenas enumerei o que o enunciado pede e listei os dados relevantes.
Passo 2
Planejamento do método (sem resolver ainda): para (a) usaremos análise nodal (método muito direto aqui) para calcular a tensão em circuito aberto no nó de saída e depois a corrente com os terminais em curto; para (b) desativaremos fontes independentes (
curto,
circuito aberto) e faremos combinações em paralelo/série; para (c) com as fontes desativadas o nó de saída fica apenas com resistores paralelos, portanto resposta direta V em função de
será usando
paralelo.
Breve revisão de conceitos usados (didática rápida):
- Análise nodal / Lei de Correntes de Kirchhoff (KCL): em um nó, a soma algébrica das correntes que saem (ou entram) é igual à soma das correntes injetadas (ou zero, dependendo da convenção). Para um resistor conectado entre dois nós de tensões
e , a corrente do nó 1 para o nó 2 é . - Resistores em paralelo:
. - Para obter
basta (tensão a circuito aberto dividida pela corrente com terminais em curto), ou então desativar fontes e calcular resistência equivalente vista dos terminais.
Passo 3
Definir nós e variáveis (para aplicar nodal):
- Chamo o nó superior esquerdo de
(tem o resistor ao terra e é alimentado pela fonte de corrente ); o nó central como (nó conectado ao terra pela fonte de tensão de , com polaridade em ); o nó superior direito (os terminais) chamo de (tem , ao terra e a fonte de corrente de entre e terra). A topologia tem entre e e entre e .
Fixo a referência (terra) como o nó inferior comum. A fonte de tensão faz com que
Queremos primeiro
quando os terminais estão em circuito aberto (nenhuma corrente externa entrando em
).
Passo 4
Formular as equações nodais (circuito em aberto):
- No nó
: há corrente injetada vinda do terra para o nó (seta para cima). As correntes que saem do nó são pela resistência para o terra e pela para o nó . Aplicando KCL (correntes saindo = corrente injetada):
Expliquei:
é a corrente de
para terra pelo resistor de
e
é a corrente de
para
pelo
.
- No nó
: não há corrente externa entrando (circuito aberto), as correntes saindo são pelos resistores e para o terra, pela para o nó , e ainda a fonte de corrente de que empurra para baixo (ou seja, é uma corrente saindo do nó para o terra). Logo a equação KCL (somando correntes que saem e igualando a zero, pois não há injeção externa) fica:
Expliquei: os três termos de resistor são correntes que saem do nó
; o termo
representa a corrente da fonte de corrente que sai do nó para o terra.
Lembrando que
. As incógnitas são
e
.
Passo 5
Resolver a equação do nó
de forma exata (frações):
A equação
A equação
coloco em denominador comum:
Calculo as frações:
Substituo
e resolvo:
Portanto, valor exato
Passo 6
Resolver a equação do nó
de forma exata:
A equação
A equação
agrupo os termos em
:
Calculo as frações:
Substituo
:
Coloco os termos num único lado:
Calculo
. Logo
Numericamente,
Esse é o valor da tensão nos terminais com circuito aberto. Em notação pedida,
.
Passo 7
Calcular a corrente de curto-circuito
(curto entre terminal e terra):
Agora curto os terminais: isso impõe . As fontes permanecem ativas (aquela de
e a de
e a de
). Como o curto força
, usamos a equação do nó
com
para achar a corrente que flui pelo curto (denoto essa corrente por
; tomo como positivo a corrente saindo do nó
para o terra através do curto, por convenção).
Agora curto os terminais: isso impõe
A equação nodal geral era:
onde
é a corrente pelo curto (saindo do nó). Substituindo
e
:
Numericamente,
O sinal negativo indica que, com a convenção adotada (positiva saindo do nó pelo curto), a corrente realmente flui no sentido oposto — em outras palavras, há
entrando no nó a partir do curto (magnitude importante para a razão). Em notação pedida,
.
Passo 8
Calcular a razão
a partir dos resultados do item (a):
Usando os valores exatos obtidos:
Usando os valores exatos obtidos:
A razão é
Note que
, então simplifica:
Logo
Passo 9
Resolver (b) — zerar fontes independentes e combinar resistores:
- Zerar a fonte de tensão de
significa substituí-la por um curto entre e o terra ( ). - Zerar as fontes de corrente (independentes) significa abri-las (circuito aberto) — portanto as fontes de
e ficam abertas e não contribuem.
Com isso, olhando para os terminais (nó
), os resistores conectados ao nó são:
-
entre e com agora curto ao terra (logo conecta diretamente ao terra); -
entre e terra; -
entre e terra.
Assim, a resistência vista é simplesmente o paralelo de
,
e
:
Confirmação: resultado idêntico obtido em (a).
Passo 10
Resolver (c) — conectar uma fonte de corrente desconhecida
nos terminais com outras fontes desativadas:
- Desativo (zero) as fontes independentes externas: a fonte de tensão é substituída por um curto; as fontes de corrente são abertas.
- Então, o nó
fica conectado ao terra apenas pelos resistores , e em paralelo. - Se eu conectar uma fonte de corrente
no terminal que injeta corrente no nó , a tensão no nó (tensão sobre a fonte) será dada por a lei de Ohm aplicada à resistência equivalente vista pelo nó:
Como já calculamos,
logo
A razão tensão/corrente pedida é, portanto,
igual aos resultados anteriores.
Resposta
(a)
;
; razão
(b)
(c) Com fontes desativadas,
e