1. Um cone circular reto tem 24 cm de altura e 7 cm de raio. Calcule, em radianos, a medida do ângulo do setor circular que se obtém pelo desenvolvimento da superfície lateral do cone.

Passo 1

O enunciado nos dá um cone circular reto de altura 24 cm e raio da base 7 cm. Queremos o ângulo, em radianos, do setor obtido ao desenvolver a superfície lateral do cone. Para isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras para achar a geratriz e a relação entre comprimento de arco e ângulo em um setor circular.

Passo 2

Calculamos a geratriz \ell do cone, que é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura e pelo raio:
\ell = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25.

Passo 3

O comprimento da circunferência da base do cone vale
C = 2\pi r = 2\pi \cdot 7 = 14\pi.

Passo 4

No desenvolvimento, esse comprimento aparece como o comprimento do arco do setor de raio \ell. Se \theta é o ângulo do setor (em radianos), então
\ell \,\theta = C.

Passo 5

Substituindo \ell = 25 e C = 14\pi na equação anterior, obtemos
25\,\theta = 14\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{14\pi}{25}.

Resposta

\theta = \frac{14\pi}{25} radianos.

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