1. O volume de um cilindro reto é 1225 \pi \mathrm{~cm}^{3} e sua altura é 35 cm . Determine o volume de um cone de revolução, sendo sua base a mesma do cilindro e sua geratriz a geratriz do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro reto de volume 1225\pi,cm^{3}) e altura 35,cm e pede o volume de um cone de revolução cuja base é a mesma do cilindro (mesmo raio) e cuja geratriz (slant height) é igual à geratriz do cilindro. Em um cilindro reto, a geratriz é a altura. Para resolver, vamos:
1. Determinar o raio da base do cilindro a partir do volume.
2. Igualar a geratriz do cone à altura do cilindro e usar o teorema de Pitágoras para achar a altura do cone.
3. Calcular o volume do cone com fórmula V_{\rm cone}=\tfrac{1}{3}\pi r^2H.

Passo 2

Calcular o raio r a partir de
V_{\rm cil}=\pi r^2h=1225\pi,\quad h=35.
Logo,
r^2=\frac{1225}{35}=35 \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{35}.

Passo 3

A geratriz do cone é l=35. Pela relação entre geratriz l, raio r e altura H do cone, temos
l^2 = r^2 + H^2 \quad\Longrightarrow\quad H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{35^2 - 35} = \sqrt{1225 - 35} = \sqrt{1190}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do volume do cone:
V_{\rm cone} = \frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,H = \frac{1}{3}\,\pi\,(35)\,\sqrt{1190} = \frac{35\pi\sqrt{1190}}{3}.

Resposta

V_{\rm cone} = \frac{35\pi\sqrt{1190}}{3}\\ \text{cm}^3.

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