Conforme livro texto de Fenômenos de Transporte, faça a demonstração e dedução da Lei de Fourier.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar e deduzir a Lei de Fourier de condução de calor, que relaciona o fluxo de calor à variação de temperatura. Vamos usar dois pontos de vista:
  1. Argumento fenomenológico (próximo ao equilíbrio, resposta linear).
  2. Derivação qualitativa pela teoria cinética simples (moléculas transportam energia).

Passo 2

Definimos o fluxo de calor unidimensional q_{x} como a energia transportada por unidade de área por unidade de tempo, de regiões quentes para regiões frias. Por simetria e pela Segunda Lei da Termodinâmica, em condições de vizinhança do equilíbrio, assumimos a relação linear inversa ao gradiente de temperatura:
q_{x} \propto -\frac{\partial T}{\partial x}.
Esse é o postulado fenomenológico de Fourier: o fluxo resposta é linear ao “forçamento” térmico \partial T/\partial x.

Passo 3

Para dar um suporte físico mais detalhado, usemos uma versão simplificada da teoria cinética. Em média, uma molécula viaja uma distância da ordem do seu comprimento livre médio \lambda entre colisões, com velocidade média molecular v. Considere um plano perpendicular a x. Metade das moléculas vem de x - \tfrac{\lambda}{2} e a outra metade de x + \tfrac{\lambda}{2}. Cada molécula carrega consigo energia interna aproximadamente e = c_{v}T por unidade de massa ( c_{v} calor específico a volume constante) e densidade de massa \rho.
O saldo de energia transportada em x resulta de
q_{x} \;\approx\; \frac{1}{6}\,\rho\,v\, \bigl[e(x-\tfrac{\lambda}{2})-e(x+\tfrac{\lambda}{2})\bigr].
Aqui, \tfrac{1}{6}\rho v é a massa que atravessa o plano por área e tempo.

Passo 4

Expandindo e(x\pm\tfrac{\lambda}{2})=c_{v}T(x\pm\tfrac{\lambda}{2}) em série de Taylor até primeira ordem, obtemos
q_{x} \approx \frac{1}{6}\,\rho\,v\,c_{v} \Bigl[-\lambda\,\frac{\partial T}{\partial x}\Bigr] = -\frac{1}{6}\rho\,c_{v}\,v\,\lambda\;\frac{\partial T}{\partial x}.
Reorganizando definimos a condutividade térmica
k \;\equiv\;\frac{1}{3}\,\rho\,c_{v}\,v\,\lambda
(usualmente surge fator 1/3 ao tratar direções espaciais isotrópicas), e então
q_{x} = -\,k\,\frac{\partial T}{\partial x}.

Passo 5

No caso geral tridimensional, o fluxo de calor é o vetor \mathbf{q} e o gradiente é \nabla T. A forma vetorial de Fourier fica
\mathbf{q} = -\,k\,\nabla T.
Essa é a Lei de Fourier: o calor flui na direção de maior decaimento de temperatura, com intensidade proporcional ao gradiente e à condutividade do material.

Resposta

\boxed{\mathbf{q} = -\,k\,\nabla T.}

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