Conhecidos os pontos de ebulição de várias misturas de A e B (as frações molares são conhecidas) e as pressões de vapor de A e B no estado puro \left(P_{\mathrm{A}}^{0}\right. e \left.P_{\mathrm{B}}^{0}\right) nestas mesmas temperaturas, como você construiria um diagrama de composição-ponto de ebulição para A e B? Dê uma explicação detalhada.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que se pede (em linguagem simples e objetiva):
  • Dados disponíveis:
    • Para várias misturas de A e B são conhecidos os pontos de ebulição (i.e., temperaturas de ebulição) correspondentes a cada fração molar da mistura no líquido. Vou chamar a fração molar de A no líquido de x_A e a fração molar de B de x_B=1-x_A.
    • Para essas mesmas temperaturas conhecem-se também as pressões de vapor dos componentes puros A e B. Vou chamar essas pressões de P_A^0(T) e P_B^0(T) (estes valores são dados para cada temperatura medido).
    • Há uma pressão externa chamada P_{\rm ext} à qual as temperaturas de ebulição se referem (normalmente P_{\rm ext}=1 atm). O enunciado não fala explicitamente, então suponho que os pontos de ebulição listados são à mesma P_{\rm ext}.
  • O que se pede:
    • Construir um diagrama composição × ponto de ebulição para o sistema binário A–B. Em termos práticos: obter a curva de ponto de bolha (bubble point) do líquido e a curva de ponto de orvalho (dew point) do vapor, e mostrar como traçar as linhas de equilíbrio líquido–vapor (tie‑lines) que ligam x_A (no líquido) a y_A (no vapor) a cada temperatura.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados passo a passo e sem pressupor conhecimento):
  • Frações molares:
    • A fração molar de A no líquido é x_A. Por definição 0\le x_A\le 1. A fração molar de A no vapor é y_A.
  • Pressão parcial (Lei de Raoult, para solução ideal):
    • Em equilíbrio líquido–vapor ideal a pressão parcial do componente i sobre a solução é igual à fração molar de i no líquido multiplicada pela pressão de vapor do componente puro àquela temperatura:
    P_i = x_i\,P_i^0(T).
    • Aqui P_i é a pressão parcial de i no vapor, x_i é a fração molar de i no líquido, e P_i^0(T) é a pressão de vapor do componente puro i à temperatura T. Isso vale bem quando a solução se comporta idealmente (Raoult ideal).
  • Pressão total (Lei de Dalton):
    • A pressão total do vapor é a soma das pressões parciais:
    P_{\rm tot} = P_A + P_B = x_A P_A^0(T) + x_B P_B^0(T).
  • Condição de ebulição:
    • O líquido entra em ebulição quando P_{\rm tot} = P_{\rm ext} (a pressão do vapor sobre a solução iguala a pressão externa). Portanto, para um dado x_A o ponto de bolha T satisfaz
    x_A P_A^0(T) + (1-x_A) P_B^0(T) = P_{\rm ext}.
    • Esse T é o ponto de bolha (bubble point) para aquela composição líquida x_A.
  • Composição do vapor em equilíbrio (Dalton + Raoult combinado):
    • A fração molar de A no vapor é
    y_A = \frac{P_A}{P_{\rm tot}} = \frac{x_A P_A^0(T)}{x_A P_A^0(T) + (1-x_A) P_B^0(T)}.
    • No caso especial em que P_{\rm tot}=P_{\rm ext}, pode escrever também
    y_A = \frac{x_A P_A^0(T)}{P_{\rm ext}}.

Passo 3

Como obter a curva de ponto de ebulição (bubble point curve) passo a passo:
  • Passo operacional:
    • Para cada valor de fração molar líquida x_A (por exemplo, os valores experimentais que você tem), determine a temperatura T que satisfaz a equação
    x_A P_A^0(T) + (1-x_A) P_B^0(T) = P_{\rm ext}.
    • Se você já tem experimentalmente o ponto de ebulição correspondente a esse x_A, esse ponto experimental é diretamente um ponto da curva de ponto de bolha: plote o par (x_A, T).
    • Se você quer construir a curva continuamente (não só em pontos experimentais), precisa de uma expressão para P_A^0(T) e P_B^0(T) (por exemplo, equações de Antoine). Então, para cada x_A escolha uma temperatura inicial e faça iteração (método numérico, p.ex. Newton ou bisseção) até encontrar T que satisfaça a equação acima. Cada solução T dá um ponto da curva de ponto de bolha.
  • Interpretação prática:
    • A curva de ponto de bolha é o limite inferior da região dois‑fases (para T crescente, ela é a primeira temperatura na qual a mistura começa a ferver).

Passo 4

Como obter a composição do vapor (pontos para a curva de orvalho) a partir dos pontos de bolha:
  • Para cada par (x_A, T) obtido no Passo 3 (ou para cada observação experimental de ponto de ebulição), calcule a fração molar no vapor usando y_A = \frac{x_A P_A^0(T)}{x_A P_A^0(T) + (1-x_A) P_B^0(T)}.
    • Mas como no ponto de bolha o denominador é igual a P_{\rm ext}, uma forma rápida é
    y_A = \frac{x_A P_A^0(T)}{P_{\rm ext}}.
  • Plote o par (y_A, T) no mesmo gráfico: a curva que liga esses pontos é a curva de ponto de orvalho (dew point curve). Em um diagrama clássico composição × T você costuma colocar a composição líquida x e a composição do vapor y ao longo do eixo da composição (0 a 1) — a curva de bolha é desenhada em função de x e a de orvalho em função de y.

Passo 5

Como construir a curva de orvalho diretamente (alternativa útil quando se conhece y_A alvo):
  • Derivação curta e fórmula útil:
    • Partindo de P_A = y_A P_{\rm tot} e de P_A = x_A P_A^0(T), obtemos x_A = \dfrac{y_A P_{\rm tot}}{P_A^0(T)}. Similar para B. Somando as duas expressões e impondo P_{\rm tot}=P_{\rm ext}
    \frac{y_A}{P_A^0(T)} + \frac{1-y_A}{P_B^0(T)} = \frac{1}{P_{\rm ext}}.
    • Para cada valor de y_A essa equação pode ser resolvida para T (novamente, numericamente, usando as funções P_i^0(T)). O T resolvido é o ponto de orvalho para aquela composição de vapor y_A.
  • Use essa rota quando tiver dados experimentais de composição do vapor e quiser traçar a curva de orvalho sem passar pela curva de bolha.

Passo 6

Como desenhar o gráfico final e interpretar (passo a passo visual):
  • Eixos do gráfico:
    • Eixo horizontal: composição molar, de 0 a 1. Geralmente marca-se tanto x_A (composição do líquido) quanto y_A (composição do vapor) na mesma escala 0–1.
    • Eixo vertical: temperatura T (pontos de ebulição).
  • O que plotar:
    • Pontos (x_A,T) formam a curva de ponto de bolha (bubble point curve) — a fronteira inferior da região duas‑fases.
    • Pontos (y_A,T) formam a curva de ponto de orvalho (dew point curve) — a fronteira superior da região duas‑fases.
    • Entre essas duas curvas fica a região onde coexistem líquido e vapor (duas fases).
    • Em cada temperatura horizontal (linha isoterma) que cruza as duas curvas, trace a tie‑line (linha horizontal) que une o ponto na curva de bolha (composição líquida x_A) ao ponto na curva de orvalho (composição vapor y_A). Essa tie‑line diz: àquela T o líquido tem composição x_A e o vapor em equilíbrio tem composição y_A.

Passo 7

Como proceder se você tem apenas pontos experimentais dispersos (prático para prova):
  • Para cada experimento (dado: x_A e temperatura de ebulição T):
    • Verifique na tabela/figura que você tem os valores P_A^0(T) e P_B^0(T) (o enunciado disse que essas pressões nos mesmos T são conhecidas).
    • Calcule P_{\rm tot} = x_A P_A^0(T) + (1-x_A) P_B^0(T) para checar coerência com P_{\rm ext}. (Se o experimento for ponto de ebulição, você deverá obter P_{\rm tot}\approx P_{\rm ext}.)
    • Calcule y_A por
    y_A = \frac{x_A P_A^0(T)}{P_{\rm tot}}\quad\text{(ou)}\quad y_A=\frac{x_A P_A^0(T)}{P_{\rm ext}}.
    • Plote o ponto (x_A,T) (bubble) e o ponto (y_A,T) (dew).
  • Una suavemente os pontos experimentais da mesma curva (cuidado: faça curva suave, não linhas retas entre pontos muito espaçados). Se necessário, use spline ou ajuste polinomial para desenho suave.

Passo 8

Coisas importantes para checar e fenômenos a observar (dicas de prova e interpretação):
  • Azeótropos:
    • Se em algum ponto as curvas de bolha e orvalho coincidirem ( x_A=y_A e mesmo T), você tem um azeótropo — mistura que ferve a composição constante.
  • Validação:
    • Para x_A=1 a equação deve reduzir ao ponto de ebulição do A puro (onde P_A^0(T)=P_{\rm ext}). Mesmo para x_A=0 deve reduzir ao B puro.
  • Não idealidade:
    • Se a solução não for ideal (desvios de Raoult), as relações simples acima não valem exatamente; aí seria preciso usar coeficientes de atividade \gamma_i e substituir P_i = x_i \gamma_i P_i^0(T). O enunciado, contudo, sugere uso direto de P_i^0(T), indicando comportamento ideal ou que os dados são suficientes.

Passo 9

Resumo prático rápido (passo a passo para você executar em prova):
  • Passo A: Para cada x_A experimental, pegue o T medido e os valores P_A^0(T), P_B^0(T) (fornecidos).
  • Passo B: Calcule P_{\rm tot}=x_A P_A^0(T)+(1-x_A)P_B^0(T) e verifique que P_{\rm tot}=P_{\rm ext} (consistência).
  • Passo C: Calcule y_A = x_A P_A^0(T)/P_{\rm ext}.
  • Passo D: Plote (x_A,T) (curva de boiling/bubble) e (y_A,T) (curva de dew). Una pontos para formar curvas e trace tie‑lines horizontais a cada T.
  • Passo E: Procure possível ponto onde as duas curvas se encontram (azeótropo). Pronto — você tem o diagrama composição × ponto de ebulição.

Resposta

Traçar duas curvas: a curva de ponto de bolha obtida resolvendo \;x_A P_A^0(T)+(1-x_A)P_B^0(T)=P_{\rm ext}\; para T em vários x_A e plotando (x_A,T), e a curva de ponto de orvalho obtendo para cada ponto de bolha a composição do vapor \;y_A=\dfrac{x_A P_A^0(T)}{x_A P_A^0(T)+(1-x_A)P_B^0(T)}=\dfrac{x_A P_A^0(T)}{P_{\rm ext}}\; e plotando (y_A,T). Entre as duas curvas está a região líquido–vapor; em cada T trace a tie‑line horizontal ligando x_A e y_A.

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