Dois moles de sacarose são dissolvidos em 8 moles de água. Imagine que a solução segue a Lei de Raoult e que a pressão de vapor da sacarose é desprezível. O ponto de ebulição da água é 100^{\circ} \mathrm{C}. A destilação é feita em 1 \mathrm{~atm}(760 \mathrm{mmHg}).
a. Calcule a pressão de vapor da solução quando a temperatura atinge 100^{\circ} \mathrm{C}.
b. Que temperatura seria observada durante toda a destilação?
c. Qual seria a composição do destilado?
d. Se um termômetro fosse colocado abaixo da superfície do líquido do balão que está fervendo, que temperatura ele registraria?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e dá alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos.
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a pressão de vapor da solução quando a temperatura atinge 100^\circ\mathrm{C}.
    • (b) Determinar que temperatura será observada durante toda a destilação (ou seja, o novo ponto de ebulição da solução à pressão de 1\\ \mathrm{atm}).
    • (c) Qual será a composição do destilado (o vapor condensado)?
    • (d) Que temperatura um termômetro colocada abaixo da superfície do líquido em ebulição registraria?
  • Dados do enunciado:
    • quantidade de sacarose (não volátil): 2 mol.
    • quantidade de água (solvente): 8 mol.
    • a solução obedece à Lei de Raoult e a pressão de vapor da sacarose é desprezível (ou seja, sacarose não contribui para a pressão de vapor).
    • ponto de ebulição da água pura: 100^\circ\mathrm{C} (o que corresponde à pressão de vapor da água pura igual a 1\\ \mathrm{atm}=760\\ \mathrm{mmHg} a essa temperatura).
    • destilação é feita a 1\\ \mathrm{atm}.
A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Explicando e aplicando a Lei de Raoult para achar a pressão de vapor da solução em 100^\circ\mathrm{C}.
  • Conceito (mole friendly): a Lei de Raoult diz que, para um solvente em solução ideal com soluto não volátil, a pressão parcial do solvente sobre a solução é igual à fração molar do solvente multiplicada pela pressão de vapor do solvente puro à mesma temperatura.
    • Em forma de fórmula:
    P_{\text{solução}} = x_{\text{solvente}} \; P^\circ_{\text{solvente}},çã
    onde P_{\text{solução}}çã é a pressão total acima da solução (aqui só o solvente contribui), x_{\text{solvente}} é a fração molar do solvente e P^\circ_{\text{solvente}} é a pressão de vapor do solvente puro na temperatura considerada.
  • Calculando a fração molar da água:
    • número total de mols = 2 (sacarose) +\;8 (água) =10 mol.
    • fração molar da água:
    x_{\text{H}_2\text{O}}=\frac{8}{10}=0,8.
  • Pressão de vapor da água pura a 100^\circ\mathrm{C} (dado):
    P^\circ_{\text{H}_2\text{O}}(100^\circ\mathrm{C})=760\\ \mathrm{mmHg}.
  • Aplicando Raoult:
    P_{\text{solução}}(100^\circ\mathrm{C})=x_{\text{H}_2\text{O}}\;P^\circ_{\text{H}_2\text{O}}=0,8\times760\\ \mathrm{mmHg}=608\\ \mathrm{mmHg}.çã
  • Também em atm:
    P_{\text{solução}}(100^\circ\mathrm{C})=0,8\\ \mathrm{atm}.çã
Pronto — essa é a resposta para a letra (a).

Passo 3

Entendendo o que acontece com a ebulição (letra b): por que a solução ferve a uma temperatura diferente de 100^\circ\mathrm{C}?
  • Conceito (mastigado): um líquido ferve quando a pressão de vapor do líquido iguala a pressão externa (a pressão do ambiente). Para água pura, à pressão externa 1\\ \mathrm{atm} isso ocorre a 100^\circ\mathrm{C}. Para a solução, a pressão de vapor do solvente é menor que a do solvente puro à mesma temperatura (por causa da fração molar x_{\text{H}_2\text{O}}<1), então, para que a pressão de vapor da solução chegue a 1\\ \mathrm{atm} é preciso aquecê-la a uma temperatura maior. Esse aumento do ponto de ebulição chama-se elevação ebuliométrica.
  • Métodos possíveis para calcular a elevação do ponto de ebulição:
    • Uma rota rigorosa seria usar a relação x_{\text{H}_2\text{O}}\,P^\circ_{\text{H}_2\text{O}}(T)=P_{\text{ext}} e a curva P^\circ_{\text{H}_2\text{O}}(T) (dados experimentais ou a equação de Clausius–Clapeyron). Isso exige saber como a pressão de vapor da água varia com T.
    • Uma rota mais comumente usada em problemas de graduação é a fórmula de elevação ebuliométrica coligativa:
    \Delta T_b = K_b \, m,
    onde \Delta T_b é a elevação do ponto de ebulição, K_b é a constante ebuliométrica do solvente (para água K_b=0,512\\ ^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{kg}\,\mathrm{mol}^{-1}) e m é a molalidade da solução (mols de soluto por kg de solvente). Essa fórmula é derivada usando aproximações válidas para soluções não muito concentradas e é a forma prática que se usa em provas. Vou usar essa fórmula porque é a mais direta e foi provavelmente o esperado aqui.
Vou então calcular a molalidade m e depois \Delta T_b.

Passo 4

Calculando a molalidade m da solução.
  • Definição: molalidade m é o número de mols de soluto por quilograma de solvente:
    m=\frac{\text{mols do soluto}}{\text{kg de solvente}}.
  • Dados: temos 2 mol de sacarose (soluto) e 8 mol de água (solvente). Massa molar da água =18\\ \mathrm{g/mol}. Logo massa de 8 mol de água:
    m_{\text{água}}=8\times18\\ \mathrm{g}=144\\ \mathrm{g}=0,144\\ \mathrm{kg}.á
  • Molalidade:
    m=\frac{2\\ \text{mol}}{0,144\\ \mathrm{kg}}=13,888\ldots\\ \mathrm{mol\cdot kg^{-1}}.
    Vou arredondar quando necessário; por enquanto mantenho m\approx13,8889\\ \mathrm{mol\cdot kg^{-1}}.

Passo 5

Aplicando a fórmula da elevação do ponto de ebulição.
  • Constante ebuliométrica da água (valor conhecido e usado em exercícios):
    K_b=0,512\\ ^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{kg}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Elevação:
    \Delta T_b = K_b\,m = 0,512\times13,8889\\ ^\circ\mathrm{C}\approx7,111\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Novo ponto de ebulição (temperatura observada durante a destilação a 1\\ \mathrm{atm}):
    T_b = 100^\circ\mathrm{C}+\Delta T_b \approx100^\circ\mathrm{C}+7,11^\circ\mathrm{C}\approx107,11^\circ\mathrm{C}.
Observação didática: essa aproximação usa a relação coligativa linear e assume comportamento ideal razoavelmente aproximado; para soluções muito concentradas os valores experimentais podem divergir um pouco, mas para um exercício de prova essa é a abordagem correta e esperada.

Passo 6

Composição do destilado (letra c).
  • Conceito curto: sacarose é não volátil (pressão de vapor desprezível), logo o vapor acima da solução é praticamente água pura. Em termos de fração molar no vapor:
    y_{\text{H}_2\text{O}}=\frac{P_{\text{H}_2\text{O}}}{P_{\text{total}}}=\frac{P_{\text{H}_2\text{O}}}{P_{\text{H}_2\text{O}}}=1.
    Portanto o vapor que sobe e que depois é condensado (o destilado) é água praticamente pura — não há sacarose no vapor.
  • Em linguagem de prova: o destilado é composto essencialmente por água pura.

Passo 7

Que temperatura o termômetro registraria se colocado abaixo da superfície do líquido fervente (letra d)?
  • Conceito e resposta curta: um termômetro imerso no líquido mede a temperatura do líquido. Em ebulição, o líquido toda a massa em ebulição tem a temperatura do ponto de ebulição da solução. Assim, o termômetro registraria o ponto de ebulição da solução encontrado no Passo 5.
  • Logo, o termômetro marcaria aproximadamente T_b\approx107,11^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) P_{\text{solução}}(100^\circ\mathrm{C})=608\\ \mathrm{mmHg}=0,8\\ \mathrm{atm}.çã
b) Temperatura de ebulição observada T_b\approx107,11^\circ\mathrm{C}.
c) O destilado é água praticamente pura (não contém sacarose).
d) O termômetro imerso no líquido registraria aproximadamente 107,11^\circ\mathrm{C}.

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