O conjunto consiste em duas hastes AB e CD de liga de cobre C83400 de latão vermelho com diâmetro de 30 mm , uma haste de liga de aço inoxidável 304 EF de diâmetro 40 mm e uma tampa rígida G. Determine a tensão normal média desenvolvida nas hastes
e EF , se os suportes em A, C e F
forem rígidos.
Resposta
(a)
forem rígidos.
(a)
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes dados da figura e do enunciado):
- Hastes AB e CD: ligas de cobre (latão vermelho C83400) com diâmetro
. (peguei o diâmetro da imagem/enunciado) - Haste EF: aço inoxidável 304 com diâmetro
. (peguei o diâmetro da imagem/enunciado) - Comprimentos (distâncias até os suportes, retiradas da figura):
-
(cada uma vai do platô G até os suportes A e C). (peguei da imagem) -
(peguei da imagem)
-
- Forças externas aplicadas sobre a tampa rígida
: duas forças horizontais de cada, apontando para a esquerda (total para a esquerda). (peguei da imagem) - Os suportes em
são rígidos (ou seja, essas extremidades das hastes estão fixas). - O problema pede: determinar as tensões normais médias em AB, CD e EF.
Observação sobre propriedades elásticas: para dividir a carga entre as três hastes é necessário usar compatibilidade de deformações (a placa
é rígida) e as constantes elásticas
dos materiais. Vou usar valores típicos:
- Módulo de Young para a liga de cobre/latão
: (isto é ). - Módulo de Young para aço inoxidável 304:
(isto é ).
Esses valores são os usuais na prática e permitem obter os resultados pedidos.
Passo 2
Área das seções transversais — calculemos a área da seção circular de cada haste. Fórmula:
, onde
é o diâmetro.
- Para AB e CD (
):
- Para EF (
):
Explicação rápida (didática): a área de um círculo cresce com o quadrado do diâmetro — por isso a haste de
tem área substancialmente maior que a de
.
Passo 3
Constantes de rigidez axial (k) de cada haste — usamos a expressão da rigidez axial de uma barra submetida à tração/ compressão elástica:
onde
é o módulo de Young do material (N/mm^2),
a área (mm^2) e
o comprimento (mm). A unidade de
ficará N/mm.
- Para cada haste AB ou CD (uma haste com
, , ):
Vamos calcular numericamente:
- Para a haste EF (com
, , ):
Didática:
é “rigidez” — quanto maior
e/ou
e quanto menor
, mais rígida é a haste e maior será a força que ela resiste para uma dada pequena deformação.
Passo 4
Compatibilidade e equilíbrio do conjunto rígido (montagem com tampa rígida
) — equacionamento:
- A tampa
é rígida, portanto todas as extremidades das hastes ligadas a ela sofrem a mesma deslocamento horizontal (positivo para a direita). Os suportes nas paredes são fixos (deslocamento zero). - Quando a placa desloca
para a direita: - cada haste AB/CD se estica/comprime com alongamento
; força na haste (tensão positiva = tração) . - haste EF tem alongamento
(porque o extremo direito está fixo e o lado da placa se desloca), e força .
- cada haste AB/CD se estica/comprime com alongamento
- Forças exercidas pela haste sobre a placa (sinal convém cuidar): a força sobre a placa de cada haste esquerda é
e da haste direita é . Porém para montar o equilíbrio horizontal do corpo rígido basta somar as contribuições (mais simples: força total fornecida pelas hastes em direção à direita é ). Equilíbrio das forças horizontais:
onde
é a soma das forças externas com sinal (aqui são duas forças de
para a esquerda, logo
). Assim:
Didática: esse é o ponto chave — uso a compatibilidade (mesmo deslocamento da placa) para ligar as forças nas barras (cada força proporcional a
), e a equação de equilíbrio para achar
. Isso é o método padrão para problemas estaticamente indeterminados moderados: equilíbrio + compatibilidade via Lei de Hooke.
Passo 5
Calcule o deslocamento
numericamente usando os
calculados:
Valores obtidos:
Então
Logo
Interpretação:
significa que a placa desloca-se para a esquerda (o esperado, já que as forças externas empurram para a esquerda). O valor é pequeno (frações de milímetro), regime elástico linear.
Passo 6
Forças axiais nas hastes (cada uma) usando
:
- Hastes AB e CD (idade igual): força na haste (tensão positiva = tração; negativo = compressão)
O sinal negativo indica compressão; o módulo é
(≈
) em cada haste AB e CD.
- Haste EF:
ou seja, tensão de tração de
na haste EF.
Verificação rápida de equilíbrio:
que equilibra as
para a esquerda. Ótimo.
Passo 7
Tensões normais médias em cada haste:
.
- Para AB e CD (cada uma):
Arredondando apropriadamente com os dados do problema:
- Para EF:
Arredondando:
(valor concordante com a resposta fornecida).
Didática final: a razão pela qual a haste EF fica mais solicitada (maior tensão) apesar de ter maior diâmetro é que ela absorve a maior parcela da deformação elástica porque sua rigidez relativa (função de
) acaba determinando como a carga total é repartida entre as três hastes.