Uma barra rígida AB de comprimento
é suportada por uma articulação em A e por dois arames verticais presos nos pontos C e D. Ambos os fios têm área de seção transversal
e são feitos do mesmo material (
). O arame C tem comprimento
. As distâncias horizontais são
e
. (a) Determine as tensões de tração nos arames devido se
N. (b) Encontre o deslocamento para baixo na extremidade B da barra.
Resposta
(a)
;
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O que o problema pede:
- (a) Determinar as tensões de tração nos arames em
e em quando a carga vertical age em . - (b) Determinar o deslocamento para baixo da extremidade
da barra.
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado e da figura):
- Comprimento da barra:
. - Distâncias ao longo da barra a partir de
: (posição de ) e (posição de ). - Comprimentos dos arames: arame em
tem comprimento ; arame em tem comprimento . - Área de seção transversal dos arames:
. - Módulo de elasticidade:
. - Força aplicada vertical para baixo em
: .
Variáveis desconhecidas que vamos encontrar:
- Tensões
e (ou, primeiro, forças de tração e ). - Deslocamento vertical em
, .
Passo 2
Modelo físico e escolha das equações:
- A barra é rígida e está articulada em
; portanto ela pode girar em torno de (pequena rotação ) mas não se deforma. - Os arames são verticais e deformam-se axialmente; cada arame age como uma mola axial com rigidez
. - Para pequenas rotações da barra, o deslocamento vertical do ponto a uma distância
de é aproximadamente . - Forças verticais:
e (para cima, devido aos arames) e reação vertical em , , além da carga para baixo. - Equilíbrios estáticos (força vertical e momento) serão usados junto com as relações constitutivas dos arames (Lei de Hooke axial) e as condições de compatibilidade (deslocamentos proporcionais a
).
Passo 3
Rigidez axial dos arames e relação força–deformação (aula curta):
- Para um arame reto de área
, comprimento e módulo , a rigidez axial (constante elástica) é
- A relação linear (Lei de Hooke no eixo) entre força axial
e alongamento é
- Aqui as deformações são pequenas e a mesma fórmula vale em unidades SI (força em N,
em , em Pa, comprimento em m).
Passo 4
Compatibilidade geométrica (como a rotação gera deslocamentos nos pontos
e
):
- Para pequena rotação
da barra em torno de , o deslocamento vertical para baixo em é
e em
é
- Logo as forças nos arames, usando as rigidezes específicas, são
pois o comprimento do arame em
é
.
Passo 5
Equilíbrios estáticos: momento em
(para eliminar
) e expressão para
:
- Momento em torno de
(positivo para as contribuições e que tendem a equilibrar ):
- Substituindo
e em função de :
- Colocando
em evidência:
- Simplificando o fator comum
:
portanto
Passo 6
Cálculo numérico de
(passo a passo com unidades):
- Primeiro calcular
:
- Então
- Calcular
:
- Produto no denominador:
- Numerador:
- Logo
Passo 7
Cálculo das forças de tração
e
e das tensões
:
- Força em
:
- Força em
:
- Tensões (definição:
):
Passo 8
Deslocamento para baixo em
:
- Para pequena rotação
, o deslocamento em é
- Numericamente:
Passo 9
Observações finais e incentivo:
- As tensões e deslocamento obtidos conferem com os resultados fornecidos no enunciado.
- Bom trabalho! Essa resolução usa a ideia poderosa de tratar arames como molas axiais e a barra como corpo rígido pivoteando — é uma técnica que aparece muito em problemas de estática com compatibilidade elástica. Você já está dominando o caminho!