Uma barra rígida AB de comprimento \mathrm{L}=1600 \mathrm{~mm} é suportada por uma articulação em A e por dois arames verticais presos nos pontos C e D. Ambos os fios têm área de seção transversal 16 \mathrm{~mm}^{2} e são feitos do mesmo material ( \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} ). O arame C tem comprimento \mathrm{h}=0,4 \mathrm{~m}. As distâncias horizontais são \mathrm{c}=0,5 \mathrm{~m} e \mathrm{d}=1,2 \mathrm{~m}. (a) Determine as tensões de tração nos arames devido se \mathrm{P}=970 N. (b) Encontre o deslocamento para baixo na extremidade B da barra.
Resposta
(a) \sigma_{C}=50.0 \mathrm{MPa}, \sigma_{D}=60.0 \mathrm{MPa};
(b) \delta_{B}=0.320 \mathrm{~mm}

Passo 1

O que o problema pede:
  • (a) Determinar as tensões de tração nos arames em C e em D quando a carga vertical P age em B.
  • (b) Determinar o deslocamento para baixo da extremidade B da barra.
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado e da figura):
  • Comprimento da barra: L=1600\\ \mathrm{mm} = 1,6\\ \mathrm{m}.
  • Distâncias ao longo da barra a partir de A: c=0,5\\ \mathrm{m} (posição de C) e d=1,2\\ \mathrm{m} (posição de D).
  • Comprimentos dos arames: arame em C tem comprimento h=0,4\\ \mathrm{m}; arame em D tem comprimento 2h.
  • Área de seção transversal dos arames: A=16\\ \mathrm{mm^{2}} = 16\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Módulo de elasticidade: E=200\\ \mathrm{GPa}=200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Força aplicada vertical para baixo em B: P=970\\ \mathrm{N}.
Variáveis desconhecidas que vamos encontrar:
  • Tensões \sigma_{C} e \sigma_{D} (ou, primeiro, forças de tração T_C e T_D).
  • Deslocamento vertical em B, \delta_B.

Passo 2

Modelo físico e escolha das equações:
  • A barra é rígida e está articulada em A; portanto ela pode girar em torno de A (pequena rotação \theta) mas não se deforma.
  • Os arames são verticais e deformam-se axialmente; cada arame age como uma mola axial com rigidez k=\dfrac{AE}{L_{\text{arame}}}.
  • Para pequenas rotações da barra, o deslocamento vertical do ponto a uma distância x de A é aproximadamente \delta(x)=\theta x.
  • Forças verticais: T_C e T_D (para cima, devido aos arames) e reação vertical em A, R_{Ay}, além da carga P para baixo.
  • Equilíbrios estáticos (força vertical e momento) serão usados junto com as relações constitutivas dos arames (Lei de Hooke axial) e as condições de compatibilidade (deslocamentos proporcionais a \theta).

Passo 3

Rigidez axial dos arames e relação força–deformação (aula curta):
  • Para um arame reto de área A, comprimento L_{\text{arame}} e módulo E, a rigidez axial (constante elástica) é
k=\frac{AE}{L_{\text{arame}}}.
  • A relação linear (Lei de Hooke no eixo) entre força axial T e alongamento \Delta é
T=k\,\Delta=\frac{AE}{L_{\text{arame}}}\,\Delta.
  • Aqui as deformações são pequenas e a mesma fórmula vale em unidades SI (força em N, A em \mathrm{m^2}, E em Pa, comprimento em m).

Passo 4

Compatibilidade geométrica (como a rotação gera deslocamentos nos pontos C e D):
  • Para pequena rotação \theta da barra em torno de A, o deslocamento vertical para baixo em C é
\delta_C=\theta\,c,
e em D é
\delta_D=\theta\,d.
  • Logo as forças nos arames, usando as rigidezes específicas, são
T_C=\frac{AE}{h}\,\delta_C=\frac{AE}{h}\,\theta c,
T_D=\frac{AE}{2h}\,\delta_D=\frac{AE}{2h}\,\theta d,
pois o comprimento do arame em D é 2h.

Passo 5

Equilíbrios estáticos: momento em A (para eliminar R_{Ay}) e expressão para \theta:
  • Momento em torno de A (positivo para as contribuições T_C e T_D que tendem a equilibrar P):
T_C\,c + T_D\,d - P\,L = 0.
  • Substituindo T_C e T_D em função de \theta:
\frac{AE}{h}\,\theta c \cdot c \;+\; \frac{AE}{2h}\,\theta d \cdot d \;=\; P\,L.
  • Colocando \theta em evidência:
\theta\left(\frac{AE}{h}\,c^{2} + \frac{AE}{2h}\,d^{2}\right)=P\,L.
  • Simplificando o fator comum \dfrac{AE}{h}:
\theta\frac{AE}{h}\left(c^{2}+\frac{d^{2}}{2}\right)=P\,L,
portanto
\theta=\frac{P\,L\,h}{AE\left(c^{2}+\dfrac{d^{2}}{2}\right)}.

Passo 6

Cálculo numérico de \theta (passo a passo com unidades):
  • Primeiro calcular AE:
AE = \left(200\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}\right)\left(16\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}\right)=3,2\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
  • Então
\frac{AE}{h}=\frac{3,2\times10^{6}}{0,4}=8,0\times10^{6}\\ \mathrm{N/m}, \qquad \frac{AE}{2h}=4,0\times10^{6}\\ \mathrm{N/m}.
  • Calcular c^{2}+\dfrac{d^{2}}{2}:
c^{2}+\frac{d^{2}}{2}=0,5^{2}+\frac{1,2^{2}}{2}=0,25+0,72=0,97\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Produto no denominador:
\frac{AE}{h}\left(c^{2}+\frac{d^{2}}{2}\right)=8,0\times10^{6}\times0,97=7,76\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Numerador:
P\,L=970\times1,6=1552\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Logo
\theta=\frac{1552}{7,76\times10^{6}}=2,00\times10^{-4}\\ \mathrm{rad}.

Passo 7

Cálculo das forças de tração T_C e T_D e das tensões \sigma:
  • Força em C:
T_C=\frac{AE}{h}\,\theta c = 8,0\times10^{6}\times(2,00\times10^{-4})\times0,5 = 800\\ \mathrm{N}.
  • Força em D:
T_D=\frac{AE}{2h}\,\theta d = 4,0\times10^{6}\times(2,00\times10^{-4})\times1,2 = 960\\ \mathrm{N}.
  • Tensões (definição: \sigma=T/A):
\sigma_C=\frac{T_C}{A}=\frac{800}{16\times10^{-6}}=50,0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=50,0\\ \mathrm{MPa},
\sigma_D=\frac{T_D}{A}=\frac{960}{16\times10^{-6}}=60,0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=60,0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 8

Deslocamento para baixo em B:
  • Para pequena rotação \theta, o deslocamento em B é
\delta_B=\theta\,L.
  • Numericamente:
\delta_B=(2,00\times10^{-4})\times1,6=3,20\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0,320\\ \mathrm{mm}.

Passo 9

Observações finais e incentivo:
  • As tensões e deslocamento obtidos conferem com os resultados fornecidos no enunciado.
  • Bom trabalho! Essa resolução usa a ideia poderosa de tratar arames como molas axiais e a barra como corpo rígido pivoteando — é uma técnica que aparece muito em problemas de estática com compatibilidade elástica. Você já está dominando o caminho!

Resposta

\sigma_{C}=50{,}0\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{D}=60{,}0\\ \mathrm{MPa}
\delta_{B}=0{,}320\\ \mathrm{mm}

Exercícios relacionados