A haste de alumínio AC 2014-T6 é reforçada com o tubo de aço A992 BC firmemente ligado. Determine as reações de apoio quando a força axial de 400 kN é aplicada, se quando nenhuma carga é aplicada ao conjunto, a folga entre a extremidade C e o suporte rígido é de:
0 mm .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as reações de apoio nas extremidades quando a força axial de 400\\ \text{kN} é aplicada, para o caso em que a folga entre a extremidade C e o suporte rígido é 0\\ \text{mm}.
Dados extraídos do enunciado e da figura:
  • Força aplicada: P=400\\ \text{kN}.
  • Geometria (peguei estes comprimentos e dimensões da imagem):
    • Comprimento da parte superior (apenas alumínio) A\!B: L_1 = 400\\ \text{mm}.
    • Comprimento da parte inferior (trecho composto alumínio + tubo de aço) B\!C: L_2 = 800\\ \text{mm}.
    • Diâmetro do núcleo de alumínio: 25\\ \text{mm}.
    • Diâmetro externo do tubo de aço: 50\\ \text{mm}. (Logo, o tubo é um anel com diâmetro interno igual ao diâmetro do núcleo.)
  • Materiais (indicados na figura):
    • Núcleo: liga de alumínio 2014-T6.
    • Tubo: aço A992.
  • A folga inicial entre C e o suporte rígido é 0\\ \text{mm} (ou seja, as duas extremidades já estão em contato com os suportes).
  • Valores de módulo de elasticidade (valores típicos que usarei para 2014‑T6 e A992):
    • E_{\text{Al}} = 73{,}000\\ \text{N/mm}^2 (73 GPa).
    • E_{\text{St}} = 200{,}000\\ \text{N/mm}^2 (200 GPa).

Passo 2

Entendimento físico e escolha do modelo (explicação didática):
  • Quando as duas extremidades estão apoiadas e não há folga, a situação é estaticamente indeterminada: as reações em D (topo) e C (fundo) não são obtidas apenas pela soma das forças. É preciso usar compatibilidade de deformações.
  • Método prático e intuitivo: modelar o conjunto como duas “molas” em série:
    • A mola superior representa o trecho A\!B (apenas alumínio) com rigidez axial k_1.
    • A mola inferior representa o trecho B\!C (alumínio + tubo de aço, que trabalham juntos) com rigidez axial equivalente k_2.
  • Em série, as reações R_D (no topo) e R_C (no fundo) satisfazem:
    • Equilíbrio: R_D + R_C = P.
    • Compatibilidade: deslocamentos no ponto de aplicação são tais que R_D/k_1 = R_C/k_2 (razão: as compressões relativas nas “molas” devem se ajustar para que a distância entre os suportes não mude).
  • Da relação R_D/k_1 = R_C/k_2 e R_D+R_C=P resulta a fórmula prática: R_D = P\frac{k_1}{k_1+k_2},\qquad R_C = P\frac{k_2}{k_1+k_2}.Vou agora calcular k_1 e k_2.
(Observação didática curta sobre rigidez axial)
  • Para um barra homogênea de comprimento L, área A e módulo E, a rigidez axial é k=\frac{EA}{L}.
    • Variáveis: E é o módulo de elasticidade (N/mm^2), A é a área da seção transversal (mm^2), L é o comprimento (mm). k tem unidades N/mm.
  • Para a seção composta B\!C (alumínio no núcleo + aço no anel), como os dois materiais são rigidamente ligados e têm o mesmo alongamento, as rigidezes individuais somam (isso é como ter duas molas em paralelo): k_{2}=\frac{E_{\text{Al}}A_{\text{Al}}}{L_2}+\frac{E_{\text{St}}A_{\text{St}}}{L_2}=\frac{E_{\text{Al}}A_{\text{Al}}+E_{\text{St}}A_{\text{St}}}{L_2}.

Passo 3

Cálculo das áreas das seções (com passos e explicação):
  • Raio do núcleo de alumínio: r_{\text{Al}}=\dfrac{25}{2}=12{,}5\\ \text{mm}.
  • Raio externo do tubo: r_{\text{ext}}=\dfrac{50}{2}=25\\ \text{mm}.
  • Área do núcleo de alumínio: A_{\text{Al}}=\pi r_{\text{Al}}^{2}=\pi(12{,}5)^2=\pi(156{,}25)=490{,}8739\\ \text{mm}^2.
  • Área do tubo de aço (anel): área externa menos área interna A_{\text{St}}=\pi\big(r_{\text{ext}}^{2}-r_{\text{Al}}^{2}\big) =\pi\big(25^2-12{,}5^2\big)=\pi(625-156{,}25)=\pi(468{,}75)=1472{,}6216\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Cálculo das rigidezes k_1 e k_2:
  • Rigidez do trecho A\!B (alumínio puro), com L_1=400\\ \text{mm}: k_1=\frac{E_{\text{Al}}A_{\text{Al}}}{L_1} =\frac{73{,}000\cdot 490{,}8739}{400} =89{,}584{,}48\\ \text{N/mm}.
  • Rigidez equivalente do trecho B\!C (alumínio + aço), com L_2=800\\ \text{mm}: k_2=\frac{E_{\text{Al}}A_{\text{Al}}+E_{\text{St}}A_{\text{St}}}{L_2} =\frac{73{,}000\cdot 490{,}8739 + 200{,}000\cdot 1472{,}6216}{800} =412{,}947{,}63\\ \text{N/mm}.

Passo 5

Cálculo das reações usando a fórmula obtida:
  • Primeiro, soma das rigidezes: k_1+k_2 = 89{,}584{,}48 + 412{,}947{,}63 = 502{,}532{,}11\\ \text{N/mm}.
  • Reação no apoio superior D: R_D = P\frac{k_1}{k_1+k_2} =400{,}000\\ \text{N}\cdot\frac{89{,}584{,}48}{502{,}532{,}11} =71{,}279{,}2\\ \text{N}\approx 71{,}28\\ \text{kN}.
  • Reação no apoio inferior C (por equilíbrio R_C=P-R_D ou usando a fórmula direta): R_C = 400{,}000\\ \text{N}-71{,}279{,}2\\ \text{N}=328{,}720{,}8\\ \text{N}\approx 328{,}72\\ \text{kN}.

Resposta

R_D = 71{,}28\\ \text{kN}
R_C = 328{,}72\\ \text{kN}

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