A haste de alumínio AC 2014-T6 é reforçada com o tubo de aço A992 BC firmemente ligado. Determine as reações de apoio quando a força axial de 400 kN é aplicada, se quando nenhuma carga é aplicada ao conjunto, a folga entre a extremidade C e o suporte rígido é de:
0 mm .
0 mm .
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar as reações de apoio nas extremidades quando a força axial de
é aplicada, para o caso em que a folga entre a extremidade e o suporte rígido é .
Dados extraídos do enunciado e da figura:
- Força aplicada:
. - Geometria (peguei estes comprimentos e dimensões da imagem):
- Comprimento da parte superior (apenas alumínio)
. - Comprimento da parte inferior (trecho composto alumínio + tubo de aço)
. - Diâmetro do núcleo de alumínio:
. - Diâmetro externo do tubo de aço:
. (Logo, o tubo é um anel com diâmetro interno igual ao diâmetro do núcleo.)
- Comprimento da parte superior (apenas alumínio)
- Materiais (indicados na figura):
- Núcleo: liga de alumínio 2014-T6.
- Tubo: aço A992.
- A folga inicial entre
e o suporte rígido é (ou seja, as duas extremidades já estão em contato com os suportes). - Valores de módulo de elasticidade (valores típicos que usarei para 2014‑T6 e A992):
-
(73 GPa). -
(200 GPa).
-
Passo 2
Entendimento físico e escolha do modelo (explicação didática):
- Quando as duas extremidades estão apoiadas e não há folga, a situação é estaticamente indeterminada: as reações em
(topo) e (fundo) não são obtidas apenas pela soma das forças. É preciso usar compatibilidade de deformações. - Método prático e intuitivo: modelar o conjunto como duas “molas” em série:
- A mola superior representa o trecho
(apenas alumínio) com rigidez axial . - A mola inferior representa o trecho
(alumínio + tubo de aço, que trabalham juntos) com rigidez axial equivalente .
- A mola superior representa o trecho
- Em série, as reações
(no topo) e (no fundo) satisfazem: - Equilíbrio:
. - Compatibilidade: deslocamentos no ponto de aplicação são tais que
(razão: as compressões relativas nas “molas” devem se ajustar para que a distância entre os suportes não mude).
- Equilíbrio:
- Da relação
e resulta a fórmula prática: Vou agora calcular e .
(Observação didática curta sobre rigidez axial)
- Para um barra homogênea de comprimento
, área e módulo , a rigidez axial é - Variáveis:
é o módulo de elasticidade (N/mm^2), é a área da seção transversal (mm^2), é o comprimento (mm). tem unidades N/mm.
- Variáveis:
- Para a seção composta
(alumínio no núcleo + aço no anel), como os dois materiais são rigidamente ligados e têm o mesmo alongamento, as rigidezes individuais somam (isso é como ter duas molas em paralelo):
Passo 3
Cálculo das áreas das seções (com passos e explicação):
- Raio do núcleo de alumínio:
. - Raio externo do tubo:
. - Área do núcleo de alumínio:
- Área do tubo de aço (anel): área externa menos área interna
Passo 4
Cálculo das rigidezes
e
:
- Rigidez do trecho
(alumínio puro), com : - Rigidez equivalente do trecho
(alumínio + aço), com :
Passo 5
Cálculo das reações usando a fórmula obtida:
- Primeiro, soma das rigidezes:
- Reação no apoio superior
: - Reação no apoio inferior
(por equilíbrio ou usando a fórmula direta):