O conjunto da correia sobreposta será submetido a uma força de 800 N. Determinar o diâmetro d_{r} do pino se a tensão de cisalhamento admissível para o pino for \left(\mathrm{T}_{\text {adm }}\right)_{P}=30 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o diâmetro d_{r} do pino que suporta o conjunto da correia sobreposta quando a força aplicada é 800\\ \mathrm{N}, sabendo que a tensão de cisalhamento admissível do pino é \left(\mathrm{T}_{\text{adm}}\right)_{P}=30\\ \mathrm{MPa}. Da figura eu extraí explicitamente a força 800\\ \mathrm{N} (mostrada nas duas extremidades) e o rótulo do diâmetro do pino d_{r}. Não usarei o comprimento de sobreposição 45\\ \mathrm{mm} nem outras dimensões da correia porque a pergunta pede apenas o diâmetro do pino considerando a tensão admissível por cisalhamento.
Informações relevantes fornecidas:
  • Força aplicada: F=800\\ \mathrm{N} (tirei este valor da imagem/enunciado).
  • Tensão de cisalhamento admissível do pino: \left(\mathrm{T}_{\text{adm}}\right)_{P}=30\\ \mathrm{MPa} (ou seja, 30\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}).
  • Variável a encontrar: d_{r} (diâmetro do pino).

Passo 2

Vou explicar qual situação de cisalhamento o pino tem (isto define a fórmula a usar). Observando a figura, o pino atravessa a peça de fixação e a correia sobreposta, formando duas superfícies onde o pino pode ser cortado (uma em cada lado da peça intermediária). Portanto, o pino trabalha em cisalhamento duplo — isto significa que existem duas seções transversais que resistem à força, ou seja, duas “planos de cisalhamento” atuando em paralelo sobre o pino. Se alguém interpretasse como cisalhamento simples, a área resistente seria apenas uma seção; aqui, por causa da sobreposição mostrada, a divisão do carregamento em duas seções é a interpretação correta. Vou, então, usar o caso de cisalhamento duplo (n = 2 planos de cisalhamento).
Se você tiver dúvida em prova, explique brevemente que o número de planos de cisalhamento n é igual ao número de superfícies onde o pino pode ser cortado, e que na figura há duas superfícies (duas lâminas atravessadas pelo pino), logo n=2.

Passo 3

Agora apresento a fórmula básica da resistência ao cisalhamento e explico cada termo:
  • A tensão de cisalhamento média é definida por
\tau=\frac{F}{A_{\text{cisalh}}},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2} ou \mathrm{MPa}), F é a força de corte total aplicada ao pino (em \mathrm{N}) e A_{\text{cisalh}} é a área total de seção transversal sujeita a cisalhamento (em \mathrm{mm}^{2}).
  • Para um pino cilíndrico de diâmetro d, a área de uma seção transversal circular é \displaystyle A_{\text{sec}}=\frac{\pi d^{2}}{4}. Se houver n planos de cisalhamento equivalentes, a área total resistente ao cisalhamento é
A_{\text{cisalh}}=n\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}.
  • Substituindo em \tau=\dfrac{F}{A_{\text{cisalh}}} obtemos a relação entre d, F, n e \tau:
\tau=\frac{F}{n\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}}.
Resolver essa equação para d dá:
d=\sqrt{\frac{4F}{n\pi\tau}}.
Explicação das variáveis nesta fórmula:
  • d: diâmetro do pino que queremos achar (em \mathrm{mm}),
  • F: força aplicada ao pino (em \mathrm{N}),
  • n: número de planos de cisalhamento ( n=2 para cisalhamento duplo),
  • \tau: tensão admissível de cisalhamento (em \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}, ou \mathrm{MPa}).

Passo 4

Converter unidades e substituir os valores numéricos. Observações de unidade: 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}. Então \tau=30\\ \mathrm{MPa}=30\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}. Usamos n=2 (cisalhamento duplo) e F=800\\ \mathrm{N}. Substituindo na fórmula:
d=\sqrt{\frac{4F}{n\pi\tau}}.
Calcule passo a passo:
  • Primeiro calcule o numerador: 4F=4\cdot 800=3200.
  • Calcule o denominador: n\pi\tau=2\cdot\pi\cdot 30=60\pi.
  • Divisão:
\frac{4F}{n\pi\tau}=\frac{3200}{60\pi}=\frac{3200}{60\cdot 3{,}14159265\ldots}
\frac{3200}{60\pi}=\frac{3200}{188{,}495559} \approx 16{,}981.
  • Raiz quadrada:
d=\sqrt{16{,}981}\approx 4{,}12\\ \mathrm{mm}.
Portanto o diâmetro calculado para o pino é aproximadamente \,4{,}12\\ \mathrm{mm}.
Comentário prático (útil na prova): como diâmetros comerciais são padronizados, normalmente você adotaria um diâmetro comercial maior (por exemplo 4{,}5\\ \mathrm{mm} ou 5\\ \mathrm{mm}) para ter uma margem de segurança e facilitar fabricação. Mas o resultado teórico pedido é \,4{,}12\\ \mathrm{mm}.

Resposta

d_{r}=4{,}12\\ \mathrm{mm}

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