Questão 3: Um tubo de aço de
de comprimento, com 300 mm de diâmetro externo e 13 mm de espessura da parede, irá ser utilizado como pilar. Este pilar deverá suportar uma carga axial centrada
. Nesta questão, considere n E=210GPa e Coef. Poisson=0,3. Determine:
a) A variação de comprimento do tubo
b) Variação do diâmetro externo do tubo
c) Variação da espessura da parede do tubo.
a) A variação de comprimento do tubo
b) Variação do diâmetro externo do tubo
c) Variação da espessura da parede do tubo.
Passo 1
O enunciado dá um tubo cilíndrico oco (tubo de aço) que será pilar e pede as variações geométricas quando submetido a uma carga axial centrada. Dados do enunciado (vou listar tudo, com unidades e já convertendo para um sistema consistente — aqui uso mm e N):\n
- Comprimento do tubo:
\n - Diâmetro externo:
\n - Espessura da parede:
\n - Portanto diâmetro interno:
\n - Raio externo:
\n - Raio interno:
\n - Carga axial (magnitude):
\n - Módulo de Young:
\n - Coeficiente de Poisson:
\n
O que se pede:\n
(a) variação do comprimento do tubo;\n
(b) variação do diâmetro externo;\n
(c) variação da espessura da parede.\n
Observação sobre sinal: o pilar suporta uma carga axial; normalmente essa carga é compressiva. Vou usar o sinal convencional: compressão gera deformação axial negativa (encurtamento). As variações transversais (diâmetro e espessura) terão sinal conforme o efeito de Poisson (sob compressão axial haverá aumento transversal).
Passo 2
Área da seção transversal do tubo (área maciça menos área do furo):\n
É útil ter esse valor numérico para contas posteriores. Calculando:\n
Passo 3
Tensão axial média (assumindo carga centrada e distribuição uniforme):\n
onde
em newtons e
em
. Substituindo
e
, obtemos a tensão média em
(MPa):\n
Passo 4
Lei de Hooke (no regime elástico linear, uniaxial) dá a deformação axial média:\n
Como o esforço é compressivo,
será negativo (encurtamento). Substituindo
:\n
Para facilitar uso posterior, calculo um fator numérico. Primeiro calculei o denominador
. Então\n
Se preferir a notação mais direta para a deformação (em módulo):\n
Passo 5
Variação do comprimento: regra linear pequena deformação\n
Substituindo
e o fator de
obtemos (mantendo o sinal de compressão negativo):\n
Calculando o fator numérico prático (mm por kN):\n
Multiplicando os termos:\n
Interpretação: para
o tubo encurta cerca de
; cada unidade de
adiciona encurtamento de
.
Passo 6
Efeito de Poisson — deformação transversal: em material isotrópico, sob tensão axial única (sem tensões transversais), as deformações nas direções transversais são iguais e valem\n
Como
é negativo (compressão),
será positivo (expansão lateral). Substituindo o valor de
:\n
Numericamente o fator (por kN) é\n
Passo 7
Variação do diâmetro externo: a variação relativa do diâmetro externo é a deformação transversal, logo\n
Substituindo
e o fator numérico, obtemos (mm):\n
Multiplicando os termos:\n
Interpretação: para
o diâmetro externo aumenta cerca de
; cada unidade de
acrescenta mais
.
Passo 8
Variação da espessura da parede: quando todos os raios se dilatam/contraem proporcionalmente à deformação transversal, a espessura (diferença entre raios) também sofre a mesma deformação relativa. Assim\n
Substituindo
e o fator numérico, obtemos:\n
Multiplicando os termos:\n
Interpretação: para
a espessura aumenta cerca de
(duas décimas de milésimo); cada unidade de
acrescenta cerca de
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)