Questão 3: Um tubo de aço de 1,8 \mathrm{~m} de comprimento, com 300 mm de diâmetro externo e 13 mm de espessura da parede, irá ser utilizado como pilar. Este pilar deverá suportar uma carga axial centrada \mathrm{P}=(1335+5 . \mathrm{n}) \mathrm{kN}. Nesta questão, considere n E=210GPa e Coef. Poisson=0,3. Determine:
a) A variação de comprimento do tubo
b) Variação do diâmetro externo do tubo
c) Variação da espessura da parede do tubo.

Passo 1

O enunciado dá um tubo cilíndrico oco (tubo de aço) que será pilar e pede as variações geométricas quando submetido a uma carga axial centrada. Dados do enunciado (vou listar tudo, com unidades e já convertendo para um sistema consistente — aqui uso mm e N):\n
  • Comprimento do tubo: L=1{,}8\\ \mathrm{m}=1800\\ \mathrm{mm}.\n
  • Diâmetro externo: D_o=300\\ \mathrm{mm}.\n
  • Espessura da parede: t=13\\ \mathrm{mm}.\n
  • Portanto diâmetro interno: D_i=D_o-2t=300-2\cdot13=274\\ \mathrm{mm}.\n
  • Raio externo: R_o=\dfrac{D_o}{2}=150\\ \mathrm{mm}.\n
  • Raio interno: R_i=\dfrac{D_i}{2}=137\\ \mathrm{mm}.\n
  • Carga axial (magnitude): P=(1335+5\cdot n)\\ \mathrm{kN}=(1335+5\cdot n)\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.\n
  • Módulo de Young: E=210\\ \mathrm{GPa}=210\cdot 10^{3}\\ \mathrm{N/mm^{2}}.\n
  • Coeficiente de Poisson: \nu=0{,}3.\n
    O que se pede:\n
    (a) variação do comprimento do tubo \Delta L;\n
    (b) variação do diâmetro externo \Delta D_o;\n
    (c) variação da espessura da parede \Delta t.\n
    Observação sobre sinal: o pilar suporta uma carga axial; normalmente essa carga é compressiva. Vou usar o sinal convencional: compressão gera deformação axial negativa (encurtamento). As variações transversais (diâmetro e espessura) terão sinal conforme o efeito de Poisson (sob compressão axial haverá aumento transversal).

Passo 2

Área da seção transversal do tubo (área maciça menos área do furo):\n
A=\pi\big(R_o^{2}-R_i^{2}\big)=\pi\big(150^{2}-137^{2}\big)\\ \mathrm{mm^{2}}=\pi\cdot 37231\\ \mathrm{mm^{2}}.\n
É útil ter esse valor numérico para contas posteriores. Calculando:\n
A\approx 37231\pi\approx 116\,966{,}1\\ \mathrm{mm^{2}}.

Passo 3

Tensão axial média (assumindo carga centrada e distribuição uniforme):\n
\sigma_{z}=\frac{P}{A},\n
onde P em newtons e A em \mathrm{mm^{2}}. Substituindo P=(1335+5n)\times 10^{3}\\ \mathrm{N} e A\approx 116\,966{,}1\\ \mathrm{mm^{2}}, obtemos a tensão média em \mathrm{N/mm^{2}} (MPa):\n
\sigma_{z}=\frac{(1335+5n)\times 10^{3}}{116\,966{,}1}\\ \mathrm{N/mm^{2}}.

Passo 4

Lei de Hooke (no regime elástico linear, uniaxial) dá a deformação axial média:\n
\varepsilon_{z}=\frac{\sigma_{z}}{E}.\n
Como o esforço é compressivo, \varepsilon_{z} será negativo (encurtamento). Substituindo \sigma_{z}:\n
\varepsilon_{z}=\frac{(1335+5n)\times 10^{3}}{116\,966{,}1\cdot 210\cdot 10^{3}}.\n
Para facilitar uso posterior, calculo um fator numérico. Primeiro calculei o denominador A\cdot E\approx 116\,966{,}1\cdot 210\cdot 10^{3}\approx 2{,}456286\times 10^{10}. Então\n
\varepsilon_{z}\approx 4{,}068\times 10^{-8}\,(1335+5n).\n
Se preferir a notação mais direta para a deformação (em módulo):\n
\varepsilon_{z}\approx (1335+5n)\cdot 4{,}068\cdot 10^{-8}.

Passo 5

Variação do comprimento: regra linear pequena deformação\n
\Delta L=\varepsilon_{z}\,L.\n
Substituindo L=1800\\ \mathrm{mm} e o fator de \varepsilon_{z} obtemos (mantendo o sinal de compressão negativo):\n
\Delta L = -\,1800\cdot \frac{(1335+5n)\times 10^{3}}{116\,966{,}1\cdot 210\cdot 10^{3}}\\ \mathrm{mm}.\n
Calculando o fator numérico prático (mm por kN):\n
\Delta L \approx -7{,}326\times 10^{-5}\,(1335+5n)\\ \mathrm{mm}.\n
Multiplicando os termos:\n
\Delta L \approx -0{,}0978\;-\;0{,}0003663\,n\quad (\mathrm{mm}).\n
Interpretação: para n=0 o tubo encurta cerca de 0{,}0978\\ \mathrm{mm}; cada unidade de n adiciona encurtamento de 0{,}0003663\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Efeito de Poisson — deformação transversal: em material isotrópico, sob tensão axial única (sem tensões transversais), as deformações nas direções transversais são iguais e valem\n
\varepsilon_{\mathrm{trans}}=\varepsilon_{\theta}=\varepsilon_{r}=-\nu\,\varepsilon_{z}.\n
Como \varepsilon_{z} é negativo (compressão), \varepsilon_{\mathrm{trans}} será positivo (expansão lateral). Substituindo o valor de \varepsilon_{z}:\n
\varepsilon_{\mathrm{trans}}=\nu\cdot\frac{(1335+5n)\times 10^{3}}{116\,966{,}1\cdot 210\cdot 10^{3}}.\n
Numericamente o fator (por kN) é\n
\varepsilon_{\mathrm{trans}}\approx 0{,}3\cdot 4{,}068\times 10^{-8}\,(1335+5n)\approx 1{,}2204\times 10^{-8}\,(1335+5n).

Passo 7

Variação do diâmetro externo: a variação relativa do diâmetro externo é a deformação transversal, logo\n
\Delta D_{o}=\varepsilon_{\mathrm{trans}}\,D_{o}.\n
Substituindo D_{o}=300\\ \mathrm{mm} e o fator numérico, obtemos (mm):\n
\Delta D_{o}\approx 300\cdot 1{,}2204\times 10^{-8}\,(1335+5n) \approx 3{,}663\times 10^{-6}\,(1335+5n)\\ \mathrm{mm}.\n
Multiplicando os termos:\n
\Delta D_{o}\approx 0{,}004888\;+\;0{,}00001832\,n\quad (\mathrm{mm}).\n
Interpretação: para n=0 o diâmetro externo aumenta cerca de 0{,}004888\\ \mathrm{mm}; cada unidade de n acrescenta mais 0{,}00001832\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Variação da espessura da parede: quando todos os raios se dilatam/contraem proporcionalmente à deformação transversal, a espessura (diferença entre raios) também sofre a mesma deformação relativa. Assim\n
\Delta t=\varepsilon_{\mathrm{trans}}\,t.\n
Substituindo t=13\\ \mathrm{mm} e o fator numérico, obtemos:\n
\Delta t\approx 13\cdot 1{,}2204\times 10^{-8}\,(1335+5n) \approx 1{,}5865\times 10^{-7}\,(1335+5n)\\ \mathrm{mm}.\n
Multiplicando os termos:\n
\Delta t\approx 0{,}0002118\;+\;0{,}0000007933\,n\quad (\mathrm{mm}).\n
Interpretação: para n=0 a espessura aumenta cerca de 0{,}0002118\\ \mathrm{mm} (duas décimas de milésimo); cada unidade de n acrescenta cerca de 7{,}93\times 10^{-7}\\ \mathrm{mm}.

Resposta

(a) \Delta L\approx -0{,}0978\;-\;0{,}0003663\,n\\ \mathrm{mm}\n
(b) \Delta D_{o}\approx 0{,}004888\;+\;0{,}00001832\,n\\ \mathrm{mm}\n
(c) \Delta t\approx 0{,}0002118\;+\;0{,}0000007933\,n\\ \mathrm{mm}

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