1. Calcule os valores das taxas de carga q_{1} e q_{2} para que ambas as cargas gerem forças resultantes iguais, mas com sentidos opostos.

Passo 1

Vou descrever claramente o que o enunciado dá (peguei os dados da imagem enviada). A figura mostra uma distribuição linear de intensidade ao longo de uma viga com três trechos sucessivos: um trecho da esquerda de comprimento 1{,}5\\ \text{m} que varia linearmente da intensidade \,q_{1}\, no extremo esquerdo até 3{,}0\\ \text{kN/m} no ponto entre o primeiro e o segundo trechos; um trecho central de comprimento 1{,}8\\ \text{m} com intensidade constante 3{,}0\\ \text{kN/m} (marcado na figura); e um trecho da direita de comprimento 1{,}0\\ \text{m} que varia linearmente da intensidade 3{,}0\\ \text{kN/m} até \,q_{2}\, no extremo direito. Os comprimentos lidos da imagem são 1{,}5, 1{,}8 e 1{,}0 (em metros) e a intensidade constante no trecho central é 3{,}0\\ \text{kN/m}.\n\nO enunciado pede: “Calcule os valores das taxas de carga q_{1} e q_{2} para que ambas as cargas gerem forças resultantes iguais, mas com sentidos opostos.” Aqui há ambiguidade na frase original sobre quais “ambas as cargas” são. Para prosseguir preciso assumir uma interpretação natural baseada na figura: vou assumir que as duas cargas a comparar são as cargas dos trechos extremos (isto é, o carregamento linear do trecho esquerdo, que varia de q_{1} até 3{,}0, e o carregamento linear do trecho direito, que varia de 3{,}0 até q_{2}). A condição “forças resultantes iguais, mas com sentidos opostos” será interpretada como: os módulos (áreas) das duas distribuições lineares dos trechos extremos devem ser iguais (cada uma gera uma força resultante igual em magnitude, mas atuando em sentidos opostos). Se essa interpretação estiver diferente do que se queria na prova, avise-me; mas com essa leitura a resolução abaixo é consistente com os dados da imagem.

Passo 2

Conceito fundamental (aula rápida e prática): a força resultante de uma carga distribuída é a área sob o diagrama de intensidades (intensidade em \text{kN/m} multiplicada pelo comprimento em \text{m} dá força em \text{kN}). Para um trecho em que a intensidade varia linearmente entre duas extremidades w_a e w_b ao longo de um comprimento L, a força resultante R desse trecho é a área do trapézio:
R = \frac{w_a + w_b}{2}\,L.
Aqui w_a e w_b têm unidade \text{kN/m}, L tem unidade m, e R fica em kN. Vou usar essa fórmula para os dois trechos extremos.

Passo 3

Calcular a resultante do trecho esquerdo (comprimento 1{,}5\\ \text{m}), cuja intensidade varia linearmente de q_{1} (à esquerda) até 3{,}0\\ \text{kN/m} (no final do trecho). Aplicando a fórmula do trapézio:
R_{\text{esq}}=\frac{q_{1}+3{,}0}{2}\cdot 1{,}5.
Expliquei: aqui (q_{1}+3{,}0)/2 é a intensidade média ao longo do trecho e multiplicamos por 1{,}5 para obter a força total (área).

Passo 4

Calcular a resultante do trecho direito (comprimento 1{,}0\\ \text{m}), cuja intensidade varia linearmente de 3{,}0\\ \text{kN/m} até q_{2}. Pela mesma fórmula:
R_{\text{dir}}=\frac{3{,}0+q_{2}}{2}\cdot 1{,}0.
Novamente, (3{,}0+q_{2})/2 é a intensidade média nesse trecho e multiplicamos por 1{,}0 para ter a força total.

Passo 5

Impor a condição pedida: “forças resultantes iguais, mas com sentidos opostos” — sob a minha interpretação significa igualar os módulos das forças dos dois trechos extremos. Assim colocamos:
R_{\text{esq}} = R_{\text{dir}}.
Substituindo as expressões dos passos anteriores:
\frac{q_{1}+3{,}0}{2}\cdot 1{,}5 \;=\; \frac{3{,}0+q_{2}}{2}\cdot 1{,}0.

Passo 6

Resolver a equação para relacionar q_{1} e q_{2}. Simplifico passo a passo (sem pular contas):
Multiplicando os dois lados por 2 para eliminar o denominador:
1{,}5\,(q_{1}+3{,}0) = 1{,}0\,(3{,}0+q_{2}).
Desenvolvendo:
1{,}5\,q_{1} + 1{,}5\cdot 3{,}0 = 3{,}0 + q_{2}.
Calculo 1{,}5\cdot 3{,}0 = 4{,}5. Então:
1{,}5\,q_{1} + 4{,}5 = 3{,}0 + q_{2}.
Isolando q_{2}:
q_{2} = 1{,}5\,q_{1} + 4{,}5 - 3{,}0.
q_{2} = 1{,}5\,q_{1} + 1{,}5.
Isso fornece a relação entre q_{1} e q_{2} necessária para que as resultantes dos dois trechos extremos tenham o mesmo módulo.

Resposta

q_{2}=1{,}5\,q_{1}+1{,}5\\ \text{(kN/m)}

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