Um conjunto de escores de QI tem distribuição normal, com média mu=100 e desvio-padrão sigma=15. Com base nessa distribuição, determine a probabilidade de escolher aleatoriamente uma pessoa com:
QI entre 88 e 120 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A variável “QI” tem distribuição normal com média \mu=100 e desvio-padrão \sigma=15.
  • A pergunta é: qual a probabilidade de escolher aleatoriamente uma pessoa com QI entre 88 e 120, ou seja, calcular
P(88 \le X \le 120).

Passo 2

Para trabalhar com a normal é muito comum transformar a variável X numa variável normal padrão Z (que tem média 0 e desvio 1). Isso facilita porque temos a tabela da normal padrão. A transformação é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (QI),
  • \mu é a média da distribuição ( \mu=100),
  • \sigma é o desvio-padrão ( \sigma=15),
  • Z é a variável padronizada.
Usamos isso porque para qualquer a<b
P(a\le X\le b)=P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\le Z\le\frac{b-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right),
onde \Phi(\cdot) é a função de distribuição acumulada da normal padrão, ou seja, \Phi(z)=P(Z\le z).

Passo 3

Calcular os escores z correspondentes a X=88 e X=120.
Para X=88:
z_1=\frac{88-100}{15}=\frac{-12}{15}=-\frac{4}{5}=-0,8.
Para X=120:
z_2=\frac{120-100}{15}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}\approx 1,333\ldots
Portanto
P(88\le X\le 120)=P(-0,8\le Z\le 1,\overline{3})=\Phi\!\left(\tfrac{4}{3}\right)-\Phi(-0,8).

Passo 4

Agora precisamos dos valores da função \Phi (tabela da normal padrão). Algumas propriedades úteis:
  • simetria: \Phi(-z)=1-\Phi(z),
  • as tabelas geralmente dão \Phi(z) para z\ge0.
Pegando valores da tabela:
  • \Phi(0,8)=0,78814. Logo \Phi(-0,8)=1-0,78814=0,21186.
  • Para z=1,333\ldots (que é \tfrac{4}{3}) usamos a tabela em 1,33 e 1,34 e interpolamos. Valores típicos da tabela:
    • \Phi(1,33)=0,90824
    • \Phi(1,34)=0,90990
      A diferença entre 1,33 e 1,34 é 0,00166. Como 1,333\ldots está a um terço do caminho de 1,33 para 1,34, aproximamos
\Phi\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx 0,90824 + \tfrac{1}{3}\times 0,00166 \approx 0,90824 + 0,00055 = 0,90879.

Passo 5

Calcular a probabilidade pedida:
P(88\le X\le 120)=\Phi\!\left(\tfrac{4}{3}\right)-\Phi(-0,8)\approx 0,90879 - 0,21186 = 0,69693.
Arredondando de forma prática, isso dá aproximadamente 0,697, ou seja 69,7\%.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova: isso significa que cerca de 69,7\% das pessoas têm QI entre 88 e 120 se os escores seguem a normal dada. Na hora da prova, calcule primeiro os z-scores com \dfrac{X-\mu}{\sigma}, depois leia/interpole a tabela da normal padrão e subtraia as \Phi correspondentes — é um procedimento direto e seguro.

Resposta

0,697 (aproximadamente 69,7\%)

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