- Se a altura média dos estudantes de uma universidade é
e o desvio-padrão
, qual a probabilidade de um estudante sorteado ao acaso ter altura entre
e
?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados:
- altura média:
; - desvio-padrão:
.
A pergunta é: qual a probabilidade de um estudante sorteado ao acaso ter altura entree , isto é, calcular
Passo 2
Assumimos que a distribuição das alturas é aproximadamente normal (é uma suposição padrão para alturas humanas). Isso permite usar a distribuição normal
com os parâmetros fornecidos. Na prova, se disserem “altura” normalmente esse procedimento vale; se houver dúvida, justificam-se que medidas físicas populacionais costumam ser aproximadamente normais.
Passo 3
Para trabalhar com a normal usamos a padronização. A ideia: transformar a variável
(altura) numa variável padrão
com média
e desvio-padrão
. A fórmula de padronização é
onde:
-
é a altura aleatória; -
é a média (aqui ); -
é o desvio-padrão (aqui ); -
tem distribuição normal padrão .
Usamos isso porque tabelas e calculadoras dão probabilidades para
.
Passo 4
Calcular os escores
correspondentes aos limites
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
A probabilidade pedida vira uma probabilidade da normal padrão:
Passo 6
Para calcular
usamos a função de distribuição acumulada
. Assim
Usamos a propriedade de simetria da normal padrão:
. Então
Consultando tabela da normal padrão (ou calculadora) obtemos valores aproximados:
-
e , interpolando para dá . Logo . -
e , interpolando para dá . Logo .
Passo 7
Subtraindo:
Interpretando: cerca de
dos estudantes têm altura entre
e
. Força aí — esse é um valor razoável: quase um quarto da população está nesse intervalo.