1. Se a altura média dos estudantes de uma universidade é 1,75 \mathrm{~m} e o desvio-padrão 0,08 \mathrm{~m}, qual a probabilidade de um estudante sorteado ao acaso ter altura entre 1,60 \mathrm{~m} e 1,70 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • altura média: \mu = 1,75\\ \mathrm{m};
  • desvio-padrão: \sigma = 0,08\\ \mathrm{m}.
    A pergunta é: qual a probabilidade de um estudante sorteado ao acaso ter altura entre \,1,60\\ \mathrm{m} e \,1,70\\ \mathrm{m}, isto é, calcular
P\bigl(1,60 \le X \le 1,70\bigr).

Passo 2

Assumimos que a distribuição das alturas é aproximadamente normal (é uma suposição padrão para alturas humanas). Isso permite usar a distribuição normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) com os parâmetros fornecidos. Na prova, se disserem “altura” normalmente esse procedimento vale; se houver dúvida, justificam-se que medidas físicas populacionais costumam ser aproximadamente normais.

Passo 3

Para trabalhar com a normal usamos a padronização. A ideia: transformar a variável X (altura) numa variável padrão Z com média 0 e desvio-padrão 1. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a altura aleatória;
  • \mu é a média (aqui \mu=1,75);
  • \sigma é o desvio-padrão (aqui \sigma=0,08);
  • Z tem distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1).
Usamos isso porque tabelas e calculadoras dão probabilidades para Z.

Passo 4

Calcular os escores z correspondentes aos limites \,1,60 e \,1,70.
Para x=1,60:
z_1=\frac{1,60-1,75}{0,08}=\frac{-0,15}{0,08}=-1,875.
Para x=1,70:
z_2=\frac{1,70-1,75}{0,08}=\frac{-0,05}{0,08}=-0,625.

Passo 5

A probabilidade pedida vira uma probabilidade da normal padrão:
P\bigl(1,60 \le X \le 1,70\bigr)=P\bigl(-1,875 \le Z \le -0,625\bigr).

Passo 6

Para calcular P(-1,875\le Z\le -0,625) usamos a função de distribuição acumulada \Phi(z)=P(Z\le z). Assim
P(-1,875\le Z\le -0,625)=\Phi(-0,625)-\Phi(-1,875).
Usamos a propriedade de simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Então
\Phi(-0,625)=1-\Phi(0,625),\qquad \Phi(-1,875)=1-\Phi(1,875).
Consultando tabela da normal padrão (ou calculadora) obtemos valores aproximados:
  • \Phi(0,62)=0,7324 e \Phi(0,63)=0,7357, interpolando para 0,625 \Phi(0,625)\approx0,7340. Logo \Phi(-0,625)\approx1-0,7340=0,2660.
  • \Phi(1,87)=0,9693 e \Phi(1,88)=0,9699, interpolando para 1,875 \Phi(1,875)\approx0,9696. Logo \Phi(-1,875)\approx1-0,9696=0,0304.

Passo 7

Subtraindo:
P\bigl(1,60 \le X \le 1,70\bigr)\approx 0,2660-0,0304=0,2356.
Interpretando: cerca de 23,56\% dos estudantes têm altura entre 1,60\\ \mathrm{m} e 1,70\\ \mathrm{m}. Força aí — esse é um valor razoável: quase um quarto da população está nesse intervalo.

Resposta

0,2356 \approx 23,56\%

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