O conjunto
A=\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}
é enumerável? Demonstre ou contrarie.

Passo 1

O enunciado define
A = \left\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}
e pede para decidir se A é enumerável. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos e cardinalidade: vamos usar a definição de conjunto enumerável (contável).

Passo 2

Lembrando a definição, dizemos que um conjunto X é enumerável se existe bijeção
f\colon \mathbb{N}\to X.
Em particular, conjuntos finitos ou que têm a mesma “tamanho” que \mathbb{N} são enumeráveis.

Passo 3

Vamos construir uma bijeção explícita
f\colon \mathbb{N}\to A,\qquad f(n)=\frac{1}{n}.
  1. Bem-definição e imagem em A: para cada n\in\mathbb{N}, temos f(n)=1/n\in A.
  2. Injetividade: se f(n_1)=f(n_2) então
\frac{1}{n_1}=\frac{1}{n_2} \;\Longrightarrow\; n_1=n_2.
  1. Sobreatividade: todo elemento de A é da forma 1/k para algum k\in\mathbb{N}, logo existe n=k tal que f(n)=1/k.
Portanto f é bijetora.

Passo 4

Como exibimos uma bijeção f\colon\mathbb{N}\to A, concluímos que A é enumerável (na verdade, enumerável infinito). Um modo de ver a enumeração é a lista
a_1=1,\;a_2=\tfrac12,\;a_3=\tfrac13,\;\dots

Resposta

Sim. O conjunto
A=\Bigl\{\tfrac1n\mid n\in\mathbb{N}\Bigr\}
é enumerável, pois a função f(n)=1/n é bijeção de \mathbb{N} em A.

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