Obtenha uma decomposição \mathbb{N}=X_{1} \cup X_{1} \cup \ldots \cup X_{n} \cup \ldots tal que os conjuntos X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, \ldots sejam infinitos e dois a dois disjuntos.

Passo 1

O enunciado pede uma partição de \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} em conjuntos X_{1},X_{2},\dots tais que
  • \bigcup_{k=1}^{\infty}X_{k}=\mathbb{N},
  • X_{i}\cap X_{j}=\varnothing para i\neq j,
  • cada X_{k} é infinito.
    O conteúdo usado será a fatoração em potências de 2 (valoração 2-ádica) e a unicidade dessa decomposição.

Passo 2

Lembre que todo número natural n\ge1 pode ser escrito de forma única como
n = 2^{v_2(n)}\,t,
onde v_2(n)\ge0 é o maior expoente de 2 que divide n e t é ímpar. Vamos usar v_2(n) para indexar em que conjunto X_k o número n cai.

Passo 3

Definimos, para cada k\ge1,
X_{k} = \{\,n\in\mathbb{N}\mid v_2(n)=k-1\} = \{\,2^{\,k-1}(2m-1)\mid m\in\mathbb{N}\}.

Passo 4

Mostramos que os X_{k} são disjuntos dois a dois. Se um mesmo n tivesse v_2(n)=i-1 e também v_2(n)=j-1 com i\neq j, seria contradição à unicidade de v_2(n). Logo, X_{i}\cap X_{j}=\varnothing para i\neq j.

Passo 5

Mostramos que a união de todos é \mathbb{N}. Dado n\in\mathbb{N}, escrevemos n=2^{v_2(n)}\,t com t ímpar. Então n\in X_{v_2(n)+1}. Assim
\bigcup_{k=1}^{\infty}X_{k}=\mathbb{N}.

Passo 6

Cada X_{k} é infinito porque, na descrição
X_{k}=\{\,2^{k-1}(2m-1)\mid m\in\mathbb{N}\},
o parâmetro m pode variar por todos os naturais, gerando infinitos elementos.

Resposta

Uma decomposição que funciona é
X_{k}=\{\,2^{k-1}(2m-1)\mid m\in\mathbb{N}\},\quad k=1,2,3,\dots,
pois esses X_{k} são infinitos, disjuntos dois a dois e sua união é \mathbb{N}.

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