Obtenha uma decomposição
tal que os conjuntos
sejam infinitos e dois a dois disjuntos.
Passo 1
O enunciado pede uma partição de
em conjuntos
tais que
-
, -
para , - cada
é infinito.
O conteúdo usado será a fatoração em potências de 2 (valoração 2-ádica) e a unicidade dessa decomposição.
Passo 2
Lembre que todo número natural
pode ser escrito de forma única como
onde
é o maior expoente de 2 que divide
e
é ímpar. Vamos usar
para indexar em que conjunto
o número
cai.
Passo 3
Definimos, para cada
,
Passo 4
Mostramos que os
são disjuntos dois a dois. Se um mesmo
tivesse
e também
com
, seria contradição à unicidade de
. Logo,
para
.
Passo 5
Mostramos que a união de todos é
. Dado
, escrevemos
com
ímpar. Então
. Assim
Passo 6
Cada
é infinito porque, na descrição
o parâmetro
pode variar por todos os naturais, gerando infinitos elementos.
Resposta
Uma decomposição que funciona é
pois esses
são infinitos, disjuntos dois a dois e sua união é
.