Conjunto \mathbf{S}=\mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(\mathbf{1 , 2 , 1 , 0}), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=(\mathbf{0 , 1 , 1 , 1}), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=(\mathbf{1 , 0 , 0 , 2}), \mathbf{v}_{\mathbf{4}}=(\mathbf{2 , 1 , 2 , 1}) \subset \mathbb{R}^{\mathbf{4}} é o subespaços vetorial \mathrm{W}=\mathrm{L}(\mathrm{S}).
a) Defina base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determine uma base e a dimensão de W .
c) Determine se v=(2,1,1,0) \in W.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado dá o conjunto S=\{ \mathbf{v}_{1}=(1,2,1,0),\\ \mathbf{v}_{2}=(0,1,1,1),\\ \mathbf{v}_{3}=(1,0,0,2),\\ \mathbf{v}_{4}=(2,1,2,1)\}\subset\mathbb{R}^{4} e define W=\mathrm{L}(S) (o subespaço gerado por S). As perguntas são:
a) Definir base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determinar uma base e a dimensão de W.
c) Verificar se \mathbf{v}=(2,1,1,0) pertence a W.
d) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.
Informações relevantes fornecidas: os quatro vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 em \mathbb{R}^4 e o vetor \mathbf{v} para testar pertencimento a W.
Passo 2
(a) Definições (explicadas com calma).
Definição de base: Uma coleção de vetores \{ \mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_k \} em um espaço vetorial V é uma base se (i) os vetores são linearmente independentes e (ii) geram V (ou seja, \mathrm{L}(\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_k\})=V). Linearmente independentes significa que a única combinação linear que dá o vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero: se \sum_{i=1}^k \alpha_i\mathbf{b}_i=\mathbf{0} então todos \alpha_i=0.
Definição de dimensão: A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V. Uma consequência importante é que todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.
Explicação prática: para mostrar que um conjunto é base de um subespaço gerado por alguns vetores, pode-se mostrar que são linearmente independentes e que geram esse subespaço (ou, de forma equivalente, encontrar o posto/ráqueo dos vetores).
Passo 3
(b) Determinar base e dimensão de W. Vou verificar independência linear dos vetores de S usando eliminação (colocando os vetores como colunas e fazendo redução por linhas). Montamos a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 e realizamos operações elementares sobre as linhas:
Na forma escalonada obtivemos pivôs nas quatro colunas (linha 1, 2, 3 e 4 não nula), portanto o posto da matriz é 4. Como temos quatro vetores em \mathbb{R}^4 e o posto é 4, os vetores são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 4. Mas todo subespaço linear de \mathbb{R}^4 de dimensão 4 é \mathbb{R}^4. Logo W=\mathbb{R}^4.
Consequência imediata:
Uma base de W pode ser tomada simplesmente como o próprio conjunto S, pois os vetores são linearmente independentes e geram W.
A dimensão de W é \dim(W)=4.]
Passo 4
(c) Determinar se [\mathbf{v}=(2,1,1,0)\in W).
Como concluímos que W=\mathbb{R}^4, todo vetor de \mathbb{R}^4 pertence a W. Portanto \mathbf{v}\in W.
Para aprender a fazer na prova, também mostro explicitamente os coeficientes c_1,c_2,c_3,c_4 tais que
Usamos a mesma eliminação feita no Passo 3, agora com o vetor \mathbf{v} como coluna augmentada; aplicando as mesmas operações (mostradas anteriormente para a matriz com coluna augmentada) obtemos o sistema triangular e resolvemos por substituição (mostro resumido):
No final da eliminação obtemos (equações escalonadas)
Da última equação c_4=\dfrac{5}{8}\]. Voltando, \(c_3=2-3c_4=2-3\cdot\dfrac{5}{8}=\dfrac{1}{8}. Depois c_2=-3+2c_3+3c_4=-3+2\cdot\dfrac{1}{8}+3\cdot\dfrac{5}{8}=-\dfrac{7}{8}. Finalmente c_1=2-c_3-2c_4=2-\dfrac{1}{8}-2\cdot\dfrac{5}{8}=\dfrac{5}{8}.
(d) Gram–Schmidt: explicação do método e aplicação passo a passo.
Breve explicação do algoritmo (intuição amigável): dado um conjunto linearmente independente \{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\}, o processo de Gram–Schmidt constrói vetores \mathbf{u}_1,\dots,\mathbf{u}_n tais que cada \mathbf{u}_k está em \mathrm{L}(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k) e \mathbf{u}_i\cdot\mathbf{u}_j=0 para i\ne j. A fórmula de projeção usada é
Aplicação aos nossos vetores (faço todos os cálculos com frações e depois dou uma versão com entradas inteiras, multiplicando por constantes, porque multiplicar um vetor por escalar não altera ortogonalidade):
\mathbf{u}_2=\mathbf{v}_2-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2).
Calcule \mathbf{v}_2\cdot\mathbf{u}_1=0\cdot1+1\cdot2+1\cdot1+1\cdot0=3.
Então \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_2)=\dfrac{3}{6}\mathbf{u}_1=\dfrac{1}{2}\mathbf{u}_1.
Logo
Nota: podemos multiplicar \mathbf{u}_2 por 2 para evitar frações: escolha \mathbf{w}_2=2\mathbf{u}_2=(-1,0,1,2). Escalar mantém ortogonalidade.
\mathbf{u}_3=\mathbf{v}_3-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3)-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{v}_3).
Cálculos: \mathbf{v}_3=(1,0,0,2). \mathbf{v}_3\cdot\mathbf{u}_1=1. Então \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_3)=\dfrac{1}{6}\mathbf{u}_1. \mathbf{v}_3\cdot\mathbf{u}_2= \;1\cdot(-\tfrac{1}{2})+0+0+\;2\cdot1 = -\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{3}{2}.
E \mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_2=\tfrac{1}{4}+0+\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{3}{2}. Assim \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{v}_3)=\dfrac{3/2}{3/2}\mathbf{u}_2=\mathbf{u}_2.
Portanto
Para ficar inteiro, multiplico por 3: \mathbf{w}_3=3\mathbf{u}_3=(4,-1,-2,3).
\mathbf{u}_4=\mathbf{v}_4-\sum_{j=1}^3\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_j}(\mathbf{v}_4).
Cálculos: \mathbf{v}_4=(2,1,2,1). \mathbf{v}_4\cdot\mathbf{u}_1=6 então \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1}(\mathbf{v}_4)=\mathbf{u}_1. \mathbf{v}_4\cdot\mathbf{u}_2=1 e \mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_2=\tfrac{3}{2}, então \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2}(\mathbf{v}_4)=\dfrac{1}{3/2}\mathbf{u}_2=\dfrac{2}{3}\mathbf{u}_2. \mathbf{v}_4\cdot\mathbf{u}_3=2 e \mathbf{u}_3\cdot\mathbf{u}_3=\dfrac{10}{3}, logo \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_3}(\mathbf{v}_4)=\dfrac{2}{10/3}\mathbf{u}_3=\dfrac{3}{5}\mathbf{u}_3.
Substituindo e simplificando obtemos
Verificação rápida (produto interno) — por exemplo: \mathbf{w}_1\cdot\mathbf{w}_2=1(-1)+2(0)+1(1)+0(2)=0, e cálculos semelhantes mostram que todos os produtos entre vetores distintos são 0. Portanto \{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_3,\mathbf{w}_4\} é uma base ortogonal de W.
Resposta
(a) Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o espaço; a dimensão é o número de vetores em qualquer base.
(b) Uma base de W é S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} e \dim(W)=4 (logo W=\mathbb{R}^4).
(c) Sim, \mathbf{v}=(2,1,1,0)\in W. Uma combinação explícita é \mathbf{v}=\tfrac{5}{8}\mathbf{v}_1-\tfrac{7}{8}\mathbf{v}_2+\tfrac{1}{8}\mathbf{v}_3+\tfrac{5}{8}\mathbf{v}_4.
(d) Uma base ortogonal de W (obtida por Gram–Schmidt) é, por exemplo, \{(1,2,1,0),\;(-1,0,1,2),\;(4,-1,-2,3),\;(2,-3,4,-1)\}.