Questão 4.3
Conjunto \mathbf{S}=\mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(\mathbf{1 , 1 , 0 , 2}), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=(\mathbf{2 , 0 , 1 , 1}), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=(\mathbf{0 , 1 , 1 , 0}), \mathbf{v}_{\mathbf{4}}=(\mathbf{1 , 2 , 1 , 3}) \subset \mathbb{R}^{\mathbf{4}} é o subespaços vetorial \mathrm{W}=\mathrm{L}(\mathrm{S}).
a) Defina base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determine uma base e a dimensão de W.
c) Determine se \mathrm{v}=(1,0,1,1) \in \mathrm{W}.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado dá o conjunto S=\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}\}\subset\mathbb{R}^{4} com
e define o subespaço vetorial W=\mathrm{L}(S) (o espaço gerado por S). O enunciado pede:
a) uma definição de base e dimensão de um espaço vetorial;
b) determinar uma base e a dimensão de W;
c) decidir se \mathbf{v}=(1,0,1,1) pertence a W;
d) usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.
Passo 2
Primeiro vamos resolver (b): decidir se as quatro colunas são linearmente independentes e qual é a dimensão de W. Uma maneira direta é montar a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 e reduzir por linhas para encontrar o posto (rank). A matriz é
Agora eliminamos acima dos pivôs: L_2\leftarrow L_2-L_3, L_1\leftarrow L_1-2L_2 (atentar à ordem), e depois eliminar as entradas na coluna 4: L_3\leftarrow L_3-L_4, L_1\leftarrow L_1-L_4. Após essas operações chegamos à forma identidade:
Como chegamos à matriz identidade por operações por linhas, o posto de A é 4. Isso significa que as quatro colunas \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 4. Em \mathbb{R}^{4} um subespaço de dimensão 4 é o próprio \mathbb{R}^{4}. Portanto W=\mathbb{R}^{4} e \dim(W)=4.
Observação intuitiva: ter posto 4 numa matriz 4\times4 indica determinante não nulo — as colunas formam base de \mathbb{R}^4.]
Passo 3
Agora resolvo (c): verificar se \mathbf{v}=(1,0,1,1) pertence a W. Como concluímos que W=\mathbb{R}^{4}, todo vetor em \mathbb{R}^{4} pertence a W. Para ser explícito (útil em prova), podemos achar escalares x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} tais que
Isso é o sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{v}, onde \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} e \mathbf{v}=(1,0,1,1)^{T}. Aplicando as mesmas operações por linhas que usamos para achar a RREF de A (mostradas no Passo 2) ao sistema aumentado [A\mid \mathbf{v}], obtemos a solução única
Verificação rápida (multiplicando combinações) confirma que essa escolha dá \mathbf{v}. Logo \mathbf{v}\in W e os coeficientes acima são as coordenadas de \mathbf{v} na base \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}.
Passo 4
Agora vamos à parte (a): definir base e dimensão (aqui dou a definição didática e curta, ideal para decorar e escrever na prova).
Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores \{b_{1},\dots,b_{n}\}\subset V que é linearmente independente e que gera V (isto é, o span deles é V). Em palavras: cada vetor de V pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores da base.
A dimensão de V, \dim(V), é o número de vetores em qualquer base de V. (Teorema: todo par de bases tem o mesmo número de vetores.)
Passo 5
Agora a parte (d): aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W. Uso o produto interno usual em \mathbb{R}^{4}: \langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}. A fórmula de Gram–Schmidt para transformar vetores \mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_4 em vetores ortogonais \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4 é
Portanto uma base ortogonal (não normalizada) obtida por Gram–Schmidt é, por simplicidade escrevendo vetores com coordenadas inteiras ao multiplicar cada \mathbf{u}_j por um escalar conveniente (escalações preservam ortogonalidade):
Cada \mathbf{u}_j é ortogonal aos outros (verificável pelos produtos escalares). Como há quatro vetores ortogonais não nulos em \mathbb{R}^{4}, eles formam uma base ortogonal de W=\mathbb{R}^{4}.
Resposta
(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera V. A dimensão \dim(V) é o número de vetores em qualquer base de V.\n
(b) Uma base para W é \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}\} com \mathbf{v}_{1}=(1,1,0,2),\\ \mathbf{v}_{2}=(2,0,1,1),\\ \mathbf{v}_{3}=(0,1,1,0),\\ \mathbf{v}_{4}=(1,2,1,3). Tem-se \dim(W)=4 (ou seja, W=\mathbb{R}^{4}).\n
(c) Sim, \mathbf{v}=(1,0,1,1)\in W. Coordenadas na base \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} são \displaystyle\Bigl(-\tfrac{4}{3},\\ \tfrac{2}{3},\\\ -\tfrac{2}{3},\\\ 1\Bigr).\n
(d) Uma base ortogonal obtida por Gram–Schmidt (escrita com entradas inteiras para facilitar) é \{(1,1,0,2),\\ (4,-2,3,-1),\\ (-1,3,3,-1),\\ (-1,-1,1,1)\}.