Questão 4.3
Conjunto \mathbf{S}=\mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(\mathbf{1 , 1 , 0 , 2}), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=(\mathbf{2 , 0 , 1 , 1}), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=(\mathbf{0 , 1 , 1 , 0}), \mathbf{v}_{\mathbf{4}}=(\mathbf{1 , 2 , 1 , 3}) \subset \mathbb{R}^{\mathbf{4}} é o subespaços vetorial \mathrm{W}=\mathrm{L}(\mathrm{S}).
a) Defina base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determine uma base e a dimensão de W.
c) Determine se \mathrm{v}=(1,0,1,1) \in \mathrm{W}.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}\}\subset\mathbb{R}^{4} com
\mathbf{v}_{1}=(1,1,0,2),\qquad \mathbf{v}_{2}=(2,0,1,1),\qquad \mathbf{v}_{3}=(0,1,1,0),\qquad \mathbf{v}_{4}=(1,2,1,3),
e define o subespaço vetorial W=\mathrm{L}(S) (o espaço gerado por S). O enunciado pede:
a) uma definição de base e dimensão de um espaço vetorial;
b) determinar uma base e a dimensão de W;
c) decidir se \mathbf{v}=(1,0,1,1) pertence a W;
d) usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.

Passo 2

Primeiro vamos resolver (b): decidir se as quatro colunas são linearmente independentes e qual é a dimensão de W. Uma maneira direta é montar a matriz cujas colunas são \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 e reduzir por linhas para encontrar o posto (rank). A matriz é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix},
onde a coluna j é \mathbf{v}_j.
Vou aplicar operações elementares por linhas (mostro cada passo e o efeito sobre a matriz):
  1. Subtrair a linha 1 da linha 2 e subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 4:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Trocar a linha 2 com a linha 3 (para ter pivô fácil):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Eliminar entradas abaixo do pivô da linha 2: fazer L_3\leftarrow L_3+2L_2 e L_4\leftarrow L_4+3L_2:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
  1. Dividir a linha 3 por 3 e eliminar a entrada correspondente na linha 4: L_3\leftarrow \tfrac{1}{3}L_3, L_4\leftarrow L_4-3L_3:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Agora eliminamos acima dos pivôs: L_2\leftarrow L_2-L_3, L_1\leftarrow L_1-2L_2 (atentar à ordem), e depois eliminar as entradas na coluna 4: L_3\leftarrow L_3-L_4, L_1\leftarrow L_1-L_4. Após essas operações chegamos à forma identidade:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como chegamos à matriz identidade por operações por linhas, o posto de A é 4. Isso significa que as quatro colunas \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 4. Em \mathbb{R}^{4} um subespaço de dimensão 4 é o próprio \mathbb{R}^{4}. Portanto W=\mathbb{R}^{4} e \dim(W)=4.
Observação intuitiva: ter posto 4 numa matriz 4\times4 indica determinante não nulo — as colunas formam base de \mathbb{R}^4.]

Passo 3

Agora resolvo (c): verificar se \mathbf{v}=(1,0,1,1) pertence a W. Como concluímos que W=\mathbb{R}^{4}, todo vetor em \mathbb{R}^{4} pertence a W. Para ser explícito (útil em prova), podemos achar escalares x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} tais que
x_{1}\mathbf{v}_{1}+x_{2}\mathbf{v}_{2}+x_{3}\mathbf{v}_{3}+x_{4}\mathbf{v}_{4}=\mathbf{v}.
Isso é o sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{v}, onde \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} e \mathbf{v}=(1,0,1,1)^{T}. Aplicando as mesmas operações por linhas que usamos para achar a RREF de A (mostradas no Passo 2) ao sistema aumentado [A\mid \mathbf{v}], obtemos a solução única
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\Bigl(-\tfrac{4}{3},\\ \tfrac{2}{3},\\\ -\tfrac{2}{3},\\\ 1\Bigr).
Verificação rápida (multiplicando combinações) confirma que essa escolha dá \mathbf{v}. Logo \mathbf{v}\in W e os coeficientes acima são as coordenadas de \mathbf{v} na base \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}.

Passo 4

Agora vamos à parte (a): definir base e dimensão (aqui dou a definição didática e curta, ideal para decorar e escrever na prova).
  • Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores \{b_{1},\dots,b_{n}\}\subset V que é linearmente independente e que gera V (isto é, o span deles é V). Em palavras: cada vetor de V pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores da base.
  • A dimensão de V, \dim(V), é o número de vetores em qualquer base de V. (Teorema: todo par de bases tem o mesmo número de vetores.)

Passo 5

Agora a parte (d): aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W. Uso o produto interno usual em \mathbb{R}^{4}: \langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4}. A fórmula de Gram–Schmidt para transformar vetores \mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_4 em vetores ortogonais \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4 é
\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1,\qquad \mathbf{u}_k=\mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle \mathbf{v}_k,\mathbf{u}_j\rangle}{\langle \mathbf{u}_j,\mathbf{u}_j\rangle}\,\mathbf{u}_j\quad (k\ge2).
Faço passo a passo e explico cada produto escalar.
  1. \mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=(1,1,0,2).
\langle \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle = 1^2+1^2+0^2+2^2=6.
  1. Para \mathbf{v}_2=(2,0,1,1):
\langle \mathbf{v}_2,\mathbf{u}_1\rangle = 2\cdot1+0\cdot1+1\cdot0+1\cdot2=4,
então
\mathbf{u}_2=\mathbf{v}_2-\frac{4}{6}\mathbf{u}_1 =\bigl(2,0,1,1\bigr)-\tfrac{2}{3}\bigl(1,1,0,2\bigr) =\bigl(\tfrac{4}{3},-\tfrac{2}{3},1,-\tfrac{1}{3}\bigr).
Verificação rápida: \langle \mathbf{u}_2,\mathbf{u}_1\rangle=0.
  1. Para \mathbf{v}_3=(0,1,1,0): primeiro os produtos escalares
\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{u}_1\rangle = 0\cdot1+1\cdot1+1\cdot0+0\cdot2=1,
\langle \mathbf{v}_3,\mathbf{u}_2\rangle =\tfrac{4}{3}\cdot0+(-\tfrac{2}{3})\cdot1+1\cdot1+(-\tfrac{1}{3})\cdot0=\tfrac{1}{3},
e
\langle \mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle =\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{2}+\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}+1^{2}+\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2} =\tfrac{16}{9}+\tfrac{4}{9}+1+\tfrac{1}{9}=\tfrac{10}{3}.
Então
\mathbf{u}_3=\mathbf{v}_3-\frac{1}{6}\mathbf{u}_1-\frac{1/3}{10/3}\mathbf{u}_2 =\mathbf{v}_3-\tfrac{1}{6}\mathbf{u}_1-\tfrac{1}{10}\mathbf{u}_2.
Fazendo as contas (mostradas no rascunho):
\mathbf{u}_3=\Bigl(-\tfrac{3}{10},\\ \tfrac{9}{10},\\ \tfrac{9}{10},\\\ -\tfrac{3}{10}\Bigr) =\tfrac{3}{10}\,(-1,3,3,-1).
Confirme que \mathbf{u}_3 é ortogonal a \mathbf{u}_1 e a \mathbf{u}_2.
  1. Para \mathbf{v}_4=(1,2,1,3):
\langle \mathbf{v}_4,\mathbf{u}_1\rangle = 1+2+0+6=9,\quad \langle \mathbf{v}_4,\mathbf{u}_2\rangle =0\\ \text{(calcula-se e dá 0)},\quad \langle \mathbf{v}_4,\mathbf{u}_3\rangle =\tfrac{3}{2}.á
Também \langle \mathbf{u}_3,\mathbf{u}_3\rangle=\tfrac{9}{5}. Assim
\mathbf{u}_4=\mathbf{v}_4-\frac{9}{6}\mathbf{u}_1-\frac{0}{\langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle}\mathbf{u}_2-\frac{3/2}{9/5}\mathbf{u}_3.
Calculando dá (após simplificar frações)
\mathbf{u}_4=\Bigl(-\tfrac{1}{4},-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\Bigr) =\tfrac{1}{4}\,(-1,-1,1,1).
Portanto uma base ortogonal (não normalizada) obtida por Gram–Schmidt é, por simplicidade escrevendo vetores com coordenadas inteiras ao multiplicar cada \mathbf{u}_j por um escalar conveniente (escalações preservam ortogonalidade):
\mathbf{u}_1=(1,1,0,2),\qquad \mathbf{u}_2=(4,-2,3,-1),\qquad \mathbf{u}_3=(-1,3,3,-1),\qquad \mathbf{u}_4=(-1,-1,1,1).
Cada \mathbf{u}_j é ortogonal aos outros (verificável pelos produtos escalares). Como há quatro vetores ortogonais não nulos em \mathbb{R}^{4}, eles formam uma base ortogonal de W=\mathbb{R}^{4}.

Resposta

(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera V. A dimensão \dim(V) é o número de vetores em qualquer base de V.\n
(b) Uma base para W é \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4}\} com \mathbf{v}_{1}=(1,1,0,2),\\ \mathbf{v}_{2}=(2,0,1,1),\\ \mathbf{v}_{3}=(0,1,1,0),\\ \mathbf{v}_{4}=(1,2,1,3). Tem-se \dim(W)=4 (ou seja, W=\mathbb{R}^{4}).\n
(c) Sim, \mathbf{v}=(1,0,1,1)\in W. Coordenadas na base \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} são \displaystyle\Bigl(-\tfrac{4}{3},\\ \tfrac{2}{3},\\\ -\tfrac{2}{3},\\\ 1\Bigr).\n
(d) Uma base ortogonal obtida por Gram–Schmidt (escrita com entradas inteiras para facilitar) é
\{(1,1,0,2),\\ (4,-2,3,-1),\\ (-1,3,3,-1),\\ (-1,-1,1,1)\}.

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