Exercício 01.02. (a) Considerando que a tensão limite de tração e compressão suportada pelo material da barra seja \sigma_{L}= 350 MPa , determinar a espessura mínima necessária para as barras A B e B C suportarem o carregamento aplicado. Considerar que ambas as barras devam possuir a mesma espessura. (b) Considerando que não seja possível alterar a espessura das barras A B e B C (i.e., considerando a espessura inicial de 2 mm ), determinar o intervalo admissível para a força F_{2} de modo que a tensão limite de tração e compressão suportada pelo material da barra não seja ultrapassada.
R: (a) 2,51 \mathrm{~mm}. (b) -30,27 \mathrm{kN} \leq F_{2} \leq 130,27 \mathrm{kN}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos no enunciado:
    • Tensão limite do material: \sigma_{L}=350\\ \text{MPa}.
    • As barras AB e BC devem possuir a mesma espessura.
    • No item (b) a espessura inicial é dada como t_{0}=2{,}0\\ \text{mm}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar a espessura mínima necessária para as barras AB e BC suportarem o carregamento aplicado, assumindo que ambas tenham a mesma espessura.
    • (b) Mantida a espessura t_{0}=2{,}0\\ \text{mm}, determinar o intervalo admissível para a força F_{2} de modo que a tensão de tração/compressão nas barras não ultrapasse \sigma_{L}.
Observação crucial: o enunciado refere-se a barras AB e BC e a uma força F_{2}, mas o texto enviado não contém a figura, nem as dimensões geométricas (por exemplo: largura das barras, ângulos, comprimentos, ou outras cargas/reações). Essas informações geométricas e de carregamento são necessárias para encontrar as forças axiais nas barras (isto é, as forças internas N_{AB} e N_{BC}). Sem conhecer as forças axiais em função de F_{2} (ou sem conhecer os valores numéricos das outras cargas/ângulos/dimensões), não é possível calcular numericamente a espessura mínima nem os limites numéricos de F_{2}.

Passo 2

Explicar quais informações adicionais são necessárias (de forma clara) e por que cada uma é necessária.
Para obter os resultados numéricos pedidos é necessário conhecer, no mínimo:
  • A largura (largura ou espessura lateral) da seção transversal das barras, que chamarei de b (em \text{mm}), porque a área transversal costuma ser A=b\cdot t (onde t é a espessura que queremos).
  • A relação entre a força aplicada F_{2} e as forças axiais nas barras AB e BC. Essa relação depende de:
    • A geometria (ângulos das barras em relação à direção da carga), e/ou
    • Presença de outras cargas externas e condições de apoio.
      Sem essa relação não há como saber os valores de N_{AB} e N_{BC} em função de F_{2}.
  • Qualquer outra carga fixa existente (por exemplo F_{1}, cargas distribuídas, reações), caso elas influenciem as forças axiais.
Por isso, para calcular números (como 2{,}51\\ \text{mm} ou os limites -30{,}27\\ \text{kN} e 130{,}27\\ \text{kN}) é preciso a figura/valores que mostram como F_{2} é aplicado e quais são as dimensões/ângulos.

Passo 3

Revisão da teoria e das fórmulas que serão usadas quando os dados geométricos/cargas estiverem disponíveis. Esta é a “aula” passo a passo que explica exatamente como proceder na prova.
  1. Relação tensão-Força axial
  • A tensão axial numa barra é dada por
\sigma=\frac{N}{A},
onde:
  • \sigma é a tensão axial (positiva em tração, negativa em compressão),
  • N é a força axial (em N),
  • A é a área da seção transversal (em \text{mm}^2 se \sigma estiver em \text{N}/\text{mm}^2).
  • Notação e unidades: \,1\\ \text{MPa}=1\\ \text{N}/\text{mm}^2. Portanto \sigma_{L}=350\\ \text{MPa}=350\\ \text{N}/\text{mm}^2.
  1. Área da seção para chapas/barras planas (tipo “fita”)
  • Se a barra tem largura (lateral) b (em \text{mm}) e espessura (a dimensão que queremos ajustar) t (em \text{mm}), então a área é
A=b\cdot t.
Essa fórmula é muito comum em problemas de chapas planas.
  1. Condição de segurança (não ultrapassar \sigma_{L})
  • Para não exceder a tensão limite tanto em tração quanto em compressão, exige-se
| \sigma | \le \sigma_{L} \quad\Longleftrightarrow\quad |N| \le \sigma_{L}\,A.
Isto dá um limite máximo para a força axial admissível:
N_{\max}=\sigma_{L}\,A=\sigma_{L}\,b\,t.
  1. Como calcular a espessura mínima t_{\min} (item (a))
  • Se a força axial máxima prevista na barra (resultado do equilíbrio estrutural com a carga aplicada) for N_{\text{previsto}} (em módulo), então a espessura mínima para que |\sigma|\le\sigma_{L} é obtida isolando t em
\sigma_{L}\,b\,t \ge |N_{\text{previsto}}|.
Logo
t_{\min}=\frac{|N_{\text{previsto}}|}{\sigma_{L}\,b}.
  • Interpretação prática: para aplicar essa fórmula na prova, primeiro faça o diagrama de corpo livre, determine N_{\text{previsto}} (pode ser função de F_{2} e de outras cargas), e então calcule t_{\min}.
  1. Como determinar o intervalo admissível para F_{2} (item (b))
  • Em muitos problemas lineares a força axial numa barra é uma função afim de F_{2}:
N(F_{2})=\alpha\,F_{2}+\beta,
onde \alpha e \beta dependem da geometria e de outras cargas estáticas. (Ex.: se as barras são simétricas e F_{2} vertical é dividido entre duas barras inclinadas, \alpha seria um fator trigonométrico.)
  • A condição de segurança é
-\sigma_{L}\,A \le N(F_{2}) \le \sigma_{L}\,A.
  • Substituindo A=b\,t e resolvendo para F_{2} dá o intervalo admissível:
\frac{-\sigma_{L}\,b\,t - \beta}{\alpha} \le F_{2} \le \frac{\sigma_{L}\,b\,t - \beta}{\alpha},
quando \alpha>0. Se \alpha<0 os sinais do intervalo trocam; se \alpha=0 então N independe de F_{2} e a admissibilidade de F_{2} depende apenas de \beta.
  1. Passos práticos que eu (você) deve seguir na prova para obter números:
  • Desenhe o diagrama de corpo livre do conjunto (ou dos nós) e determine as componentes das forças nas barras (use equilíbrio de força no nó).
  • A partir desses equilíbrios, exprima N_{AB} e N_{BC} em função de F_{2} (obtendo \alpha,\beta para cada barra).
  • Calcule a área A=b\,t (conhecendo b e desejando t).
  • Use as desigualdades de segurança para obter t_{\min} e o intervalo para F_{2} conforme as fórmulas acima.
  • Lembre-se de manter unidades consistentes: usar \text{N} e \text{mm} com \text{N}/\text{mm}^2 para tensões.

Passo 4

Exemplo ilustrativo (genérico) — como aplicar as fórmulas com números se a figura fosse fornecida.
Suponha hipoteticamente que, após resolver o equilíbrio, a força axial numa das barras seja
N=0{,}5\,F_{2}+10{,}000\quad(\text{N}),
e que a largura das barras seja b=20\\ \text{mm}. Vou mostrar como achar t_{\min} para um valor fixo de F_{2} e como achar o intervalo admissível de F_{2} para t=2{,}0\\ \text{mm}.
  • Primeiro converta \sigma_{L}=350\\ \text{MPa}=350\\ \text{N}/\text{mm}^2.
  • Área com t desconhecido: A=20\,t\\ \text{(mm}^2).
  • Se F_{2} for conhecido, calcule N e então
t_{\min}=\frac{|N|}{350\cdot 20}.
  • Para o intervalo de F_{2} com t=2{,}0\\ \text{mm}:
    • \sigma_{L}A=350\cdot 20\cdot 2=14{,}000\\ \text{N}.
    • Resolver -14{,}000 \le 0{,}5F_{2}+10{,}000 \le 14{,}000 para F_{2}.
    • Isso dá dois limites que se isolam facilmente: por exemplo, subtraia 10{,}000 e divida por 0{,}5 etc.
Observação: os números acima são só um exemplo didático para mostrar o procedimento; os coeficientes (como 0{,}5 e 10{,}000 e b=20\\ \text{mm}) foram inventados aqui para ilustrar o método. Para calcular os valores numéricos corretos do seu exercício é preciso extrair da figura os coeficientes reais que relacionam N e F_{2} e a largura b.

Passo 5

Conclusão aplicada ao enunciado que você enviou:
  • A formulação do problema exige, para obter os números finais, que sejamos capazes de calcular as forças axiais N_{AB} e N_{BC} (em módulo) em função de F_{2} e conhecer a largura b da seção das barras.
  • O enunciado enviado não inclui a figura nem os valores geométricos/ângulos/outras cargas que permitem formar essas expressões. Portanto, não há como reproduzir numericamente os resultados (a resposta (a) 2{,}51\\ \text{mm} e (b) -30{,}27\\ \text{kN}\le F_{2}\le130{,}27\\ \text{kN}) sem esses dados adicionais.
Se você quiser, posso agora:
  • (i) Resolver passo a passo e obter exatamente os números fornecidos (por exemplo o 2{,}51\\ \text{mm} e os limites de F_{2}), desde que você envie a figura ou me informe explicitamente as dimensões/ângulos e quaisquer outras forças do problema;
    ou
  • (ii) Fazer uma solução genérica simbólica (com \alpha,\beta,b explícitos) até a expressão final que você possa aplicar substituindo os números da sua figura.
Não vou pedir mais informações aqui (conforme solicitado), mas informei claramente o que falta e mostrei como proceder didaticamente assim que esses dados forem fornecidos.

Resposta

Não é possível calcular numericamente t_{\min} nem o intervalo numérico de F_{2} porque a figura/valores geométricos (largura das barras, ângulos/comprimentos e relação entre F_{2} e as forças axiais nas barras) não foram fornecidos.

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