Exercício 01.02. (a) Considerando que a tensão limite de tração e compressão suportada pelo material da barra seja
350 MPa , determinar a espessura mínima necessária para as barras
e
suportarem o carregamento aplicado. Considerar que ambas as barras devam possuir a mesma espessura. (b) Considerando que não seja possível alterar a espessura das barras
e
(i.e., considerando a espessura inicial de 2 mm ), determinar o intervalo admissível para a força
de modo que a tensão limite de tração e compressão suportada pelo material da barra não seja ultrapassada.
R: (a)
. (b)
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- Dados fornecidos no enunciado:
- Tensão limite do material:
. - As barras
e devem possuir a mesma espessura. - No item (b) a espessura inicial é dada como
.
- Tensão limite do material:
- O que o enunciado pede:
- (a) Determinar a espessura mínima necessária para as barras
e suportarem o carregamento aplicado, assumindo que ambas tenham a mesma espessura. - (b) Mantida a espessura
, determinar o intervalo admissível para a força de modo que a tensão de tração/compressão nas barras não ultrapasse .
- (a) Determinar a espessura mínima necessária para as barras
Observação crucial: o enunciado refere-se a barras
e
e a uma força
, mas o texto enviado não contém a figura, nem as dimensões geométricas (por exemplo: largura das barras, ângulos, comprimentos, ou outras cargas/reações). Essas informações geométricas e de carregamento são necessárias para encontrar as forças axiais nas barras (isto é, as forças internas
e
). Sem conhecer as forças axiais em função de
(ou sem conhecer os valores numéricos das outras cargas/ângulos/dimensões), não é possível calcular numericamente a espessura mínima nem os limites numéricos de
.
Passo 2
Explicar quais informações adicionais são necessárias (de forma clara) e por que cada uma é necessária.
Para obter os resultados numéricos pedidos é necessário conhecer, no mínimo:
- A largura (largura ou espessura lateral) da seção transversal das barras, que chamarei de
(em ), porque a área transversal costuma ser (onde é a espessura que queremos). - A relação entre a força aplicada
e as forças axiais nas barras e . Essa relação depende de: - A geometria (ângulos das barras em relação à direção da carga), e/ou
- Presença de outras cargas externas e condições de apoio.
Sem essa relação não há como saber os valores dee em função de .
- Qualquer outra carga fixa existente (por exemplo
, cargas distribuídas, reações), caso elas influenciem as forças axiais.
Por isso, para calcular números (como
ou os limites
e
) é preciso a figura/valores que mostram como
é aplicado e quais são as dimensões/ângulos.
Passo 3
Revisão da teoria e das fórmulas que serão usadas quando os dados geométricos/cargas estiverem disponíveis. Esta é a “aula” passo a passo que explica exatamente como proceder na prova.
- Relação tensão-Força axial
- A tensão axial numa barra é dada por
onde:
-
é a tensão axial (positiva em tração, negativa em compressão), -
é a força axial (em N), -
é a área da seção transversal (em se estiver em ). - Notação e unidades:
. Portanto .
- Área da seção para chapas/barras planas (tipo “fita”)
- Se a barra tem largura (lateral)
(em ) e espessura (a dimensão que queremos ajustar) (em ), então a área é
Essa fórmula é muito comum em problemas de chapas planas.
- Condição de segurança (não ultrapassar
)
- Para não exceder a tensão limite tanto em tração quanto em compressão, exige-se
Isto dá um limite máximo para a força axial admissível:
- Como calcular a espessura mínima
(item (a))
- Se a força axial máxima prevista na barra (resultado do equilíbrio estrutural com a carga aplicada) for
(em módulo), então a espessura mínima para que é obtida isolando em
Logo
- Interpretação prática: para aplicar essa fórmula na prova, primeiro faça o diagrama de corpo livre, determine
(pode ser função de e de outras cargas), e então calcule .
- Como determinar o intervalo admissível para
(item (b))
- Em muitos problemas lineares a força axial numa barra é uma função afim de
:
onde
e
dependem da geometria e de outras cargas estáticas. (Ex.: se as barras são simétricas e
vertical é dividido entre duas barras inclinadas,
seria um fator trigonométrico.)
- A condição de segurança é
- Substituindo
e resolvendo para dá o intervalo admissível:
quando
. Se
os sinais do intervalo trocam; se
então
independe de
e a admissibilidade de
depende apenas de
.
- Passos práticos que eu (você) deve seguir na prova para obter números:
- Desenhe o diagrama de corpo livre do conjunto (ou dos nós) e determine as componentes das forças nas barras (use equilíbrio de força no nó).
- A partir desses equilíbrios, exprima
e em função de (obtendo para cada barra). - Calcule a área
(conhecendo e desejando ). - Use as desigualdades de segurança para obter
e o intervalo para conforme as fórmulas acima. - Lembre-se de manter unidades consistentes: usar
e com para tensões.
Passo 4
Exemplo ilustrativo (genérico) — como aplicar as fórmulas com números se a figura fosse fornecida.
Suponha hipoteticamente que, após resolver o equilíbrio, a força axial numa das barras seja
e que a largura das barras seja
. Vou mostrar como achar
para um valor fixo de
e como achar o intervalo admissível de
para
.
- Primeiro converta
. - Área com
desconhecido: ). - Se
for conhecido, calcule e então
- Para o intervalo de
com : -
- Resolver
para . - Isso dá dois limites que se isolam facilmente: por exemplo, subtraia
e divida por etc.
-
Observação: os números acima são só um exemplo didático para mostrar o procedimento; os coeficientes (como
e
e
) foram inventados aqui para ilustrar o método. Para calcular os valores numéricos corretos do seu exercício é preciso extrair da figura os coeficientes reais que relacionam
e
e a largura
.
Passo 5
Conclusão aplicada ao enunciado que você enviou:
- A formulação do problema exige, para obter os números finais, que sejamos capazes de calcular as forças axiais
e (em módulo) em função de e conhecer a largura da seção das barras. - O enunciado enviado não inclui a figura nem os valores geométricos/ângulos/outras cargas que permitem formar essas expressões. Portanto, não há como reproduzir numericamente os resultados (a resposta (a)
e (b) ) sem esses dados adicionais.
Se você quiser, posso agora:
- (i) Resolver passo a passo e obter exatamente os números fornecidos (por exemplo o
e os limites de ), desde que você envie a figura ou me informe explicitamente as dimensões/ângulos e quaisquer outras forças do problema;
ou - (ii) Fazer uma solução genérica simbólica (com
explícitos) até a expressão final que você possa aplicar substituindo os números da sua figura.
Não vou pedir mais informações aqui (conforme solicitado), mas informei claramente o que falta e mostrei como proceder didaticamente assim que esses dados forem fornecidos.
Resposta
Não é possível calcular numericamente
nem o intervalo numérico de
porque a figura/valores geométricos (largura das barras, ângulos/comprimentos e relação entre
e as forças axiais nas barras) não foram fornecidos.