O conjunto solução ( S ) para a inequação 2 \cos ^{2} x+\cos (2 x)>2 em que 0<\mathrm{x}<\pi é dado por:
a) \quad S=\left\{x \in(0, \pi) \left\lvert\, 0<x<\frac{\pi}{6}\right.\right. ou \left.\frac{5 \pi}{6}<x<\pi\right\}
b) \quad S=\left\{x \in(0, \pi) \left\lvert\, \frac{\pi}{3}<x<\frac{2 \pi}{3}\right.\right\}
c) \quad S=\left\{x \in(0, \pi) \left\lvert\, 0<x<\frac{\pi}{3}\right.\right. ou \left.\frac{2 \pi}{3}<x<\pi\right\}
d) \quad S=\left\{x \in(0, \pi) \left\lvert\, \frac{\pi}{6}<x<\frac{5 \pi}{6}\right.\right\}
e) S=\{x \in(0, \pi)\}
Passo 1
O enunciado pede o conjunto solução S da inequação
2\cos^{2}x+\cos(2x)>2
no intervalo 0<x<\pi. As opções dadas (a)–(e) apresentam possíveis formas de S. Informações importantes fornecidas: \,0<x<\pi (domínio onde buscar soluções) e a inequação acima (estritamente >, logo pontos de igualdade não pertencem a S).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão trigonométrica usando uma identidade conhecida. A identidade de duplicação para cosseno é
\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1.
Explicando: \cos(2x) pode ser escrito em termos de \cos^{2}x porque \sin^{2}x=1-\cos^{2}x, então \cos^{2}x-(1-\cos^{2}x)=2\cos^{2}x-1.
Explicando a lógica: se y^{2}>a^{2} com a\ge0, então \lvert y\rvert>a, que se divide em y>a ou y<-a.
Passo 5
Agora vamos resolver cada caso no intervalo 0<x<\pi. Lembre que no intervalo (0,\pi) a função \cos x é contínua e estritamente decrescente, indo de \cos 0=1 até \cos\pi=-1. Os pontos onde \lvert\cos x\rvert=\frac{\sqrt{3}}{2} são:
Um cheque rápido por exemplo numérico: x=\frac{\pi}{12} (15^\circ) tem \cos x\approx0{,}966>\tfrac{\sqrt3}{2}, satisfaz; x=\frac{3\pi}{4} (135^\circ) tem |\cos x|\approx0{,}707<\tfrac{\sqrt3}{2}, não satisfaz; x=\tfrac{11\pi}{12} (165^\circ) tem \cos x\approx-0{,}966<-\tfrac{\sqrt3}{2}, satisfaz.
Comparando com as opções dadas, isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
a) \;S=\left\{x\in(0,\pi)\left\lvert\,0<x<\frac{\pi}{6}\right.\right. ou \left.\frac{5\pi}{6}<x<\pi\right\}