O conjunto solução ( S ) para a inequação 2 \cos ^{2} x+\cos (2 x)>2 em que 0<\mathrm{x}<\pi é dado por:
a) \quad S=\left\{x \in(0, \pi) \left\lvert\, 0<x<\frac{\pi}{6}\right.\right. ou \left.\frac{5 \pi}{6}<x<\pi\right\}
b) \quad S=\left\{x \in(0, \pi) \left\lvert\, \frac{\pi}{3}<x<\frac{2 \pi}{3}\right.\right\}
c) \quad S=\left\{x \in(0, \pi) \left\lvert\, 0<x<\frac{\pi}{3}\right.\right. ou \left.\frac{2 \pi}{3}<x<\pi\right\}
d) \quad S=\left\{x \in(0, \pi) \left\lvert\, \frac{\pi}{6}<x<\frac{5 \pi}{6}\right.\right\}
e) S=\{x \in(0, \pi)\}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto solução S da inequação
2\cos^{2}x+\cos(2x)>2
no intervalo 0<x<\pi. As opções dadas (a)–(e) apresentam possíveis formas de S. Informações importantes fornecidas:
\,0<x<\pi (domínio onde buscar soluções) e a inequação acima (estritamente >, logo pontos de igualdade não pertencem a S).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão trigonométrica usando uma identidade conhecida. A identidade de duplicação para cosseno é
\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x=2\cos^{2}x-1.
Explicando: \cos(2x) pode ser escrito em termos de \cos^{2}x porque \sin^{2}x=1-\cos^{2}x, então \cos^{2}x-(1-\cos^{2}x)=2\cos^{2}x-1.
Substituindo essa identidade na inequação temos
2\cos^{2}x+\cos(2x)>2 \quad\Rightarrow\quad 2\cos^{2}x+(2\cos^{2}x-1)>2.

Passo 3

Continuando a simplificação algébrica:
2\cos^{2}x+2\cos^{2}x-1>2 \quad\Rightarrow\quad 4\cos^{2}x-1>2.
Somando 1 e dividindo por 4:
4\cos^{2}x>3 \quad\Rightarrow\quad \cos^{2}x>\frac{3}{4}.
Aqui usei operações algébricas elementares: isolar o termo com \cos^{2}x e dividir por número positivo (4) que não altera o sentido da desigualdade.

Passo 4

A desigualdade \cos^{2}x>\frac{3}{4} significa que o valor absoluto de \cos x é maior que \sqrt{3}/2. Ou seja,
\lvert \cos x\rvert>\frac{\sqrt{3}}{2},
pois \sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Isso equivale a duas desigualdades separadas:
\cos x>\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{ou}\quad \cos x<-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Explicando a lógica: se y^{2}>a^{2} com a\ge0, então \lvert y\rvert>a, que se divide em y>a ou y<-a.

Passo 5

Agora vamos resolver cada caso no intervalo 0<x<\pi. Lembre que no intervalo (0,\pi) a função \cos x é contínua e estritamente decrescente, indo de \cos 0=1 até \cos\pi=-1. Os pontos onde \lvert\cos x\rvert=\frac{\sqrt{3}}{2} são:
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Esses valores podem ser reconhecidos na circunferência unitária (ângulos 30^\circ e 150^\circ).
Como queremos estritamente maior/menor (">" e “<”), os pontos x=\frac{\pi}{6} e x=\frac{5\pi}{6} não fazem parte da solução.
  • Para \cos x>\frac{\sqrt{3}}{2}: como \cos é decrescente em (0,\pi), isso ocorre apenas para
0<x<\frac{\pi}{6}.
  • Para \cos x<-\frac{\sqrt{3}}{2}: isso ocorre apenas para
\frac{5\pi}{6}<x<\pi.

Passo 6

Unindo os dois casos, a solução da inequação em 0<x<\pi é
S=\left\{x\in(0,\pi)\mid 0<x<\frac{\pi}{6}\\ \text{ou}\\ \frac{5\pi}{6}<x<\pi\right\}.
Um cheque rápido por exemplo numérico: x=\frac{\pi}{12} ( 15^\circ) tem \cos x\approx0{,}966>\tfrac{\sqrt3}{2}, satisfaz; x=\frac{3\pi}{4} ( 135^\circ) tem |\cos x|\approx0{,}707<\tfrac{\sqrt3}{2}, não satisfaz; x=\tfrac{11\pi}{12} ( 165^\circ) tem \cos x\approx-0{,}966<-\tfrac{\sqrt3}{2}, satisfaz.
Comparando com as opções dadas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) \;S=\left\{x\in(0,\pi)\left\lvert\,0<x<\frac{\pi}{6}\right.\right. ou \left.\frac{5\pi}{6}<x<\pi\right\}

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