O conjunto solução da inequação 2 \operatorname{sen}^{2} x-\cos x-1 \geq 0, no intervalo ] 0,2 \pi ] é
a) \left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]
b) \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{6}\right]
c) \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]
d) \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup\left[\frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]
e) \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right] \cup\left[\frac{7 \pi}{6}, \frac{10 \pi}{6}\right]

Passo 1

O enunciado dá a inequação \;2\operatorname{sen}^{2}x-\cos x-1\geq 0\; e pede o conjunto solução no intervalo \;]0,2\pi]\; (ou seja, 0 não está incluído e 2\pi está incluído).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função trigonométrica envolvida é \operatorname{sen} x e \cos x.
  • Queremos todos os x em \;]0,2\pi]\; que satisfazem a inequação \;2\operatorname{sen}^{2}x-\cos x-1\geq 0\;.
  • As alternativas estão em forma de intervalos de \;x no círculo trigonométrico.

Passo 2

Vamos usar a identidade trigonométrica fundamental para eliminar \operatorname{sen}^{2}x. A identidade é:
\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1.
Dessa identidade segue que
\operatorname{sen}^{2}x=1-\cos^{2}x.
Substituindo isso na inequação original temos:
2(1-\cos^{2}x)-\cos x-1\geq 0.
Agora vou desenvolver e simplificar passo a passo:
2-2\cos^{2}x-\cos x-1\geq 0,
-2\cos^{2}x-\cos x+1\geq 0.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por -1 para obter um polinômio com coeficiente principal positivo (isso inverte o sinal da desigualdade):
2\cos^{2}x+\cos x-1\leq 0.
Faço a substituição t=\cos x (uma técnica padrão: transformar a inequação trigonométrica em uma inequação algébrica):
2t^{2}+t-1\leq 0.
Agora resolvo a inequação quadrática. Primeiro calculo as raízes da equação associada 2t^{2}+t-1=0. O discriminante é
\Delta = 1^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9.
As raízes são
t=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm 3}{4}.
Isso dá as raízes
t_{1}=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad t_{2}=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}.
Como o coeficiente de t^{2} é positivo ( 2>0), a parábola abre para cima e a desigualdade 2t^{2}+t-1\leq 0 é satisfeita exatamente quando t está entre as raízes. Logo
-1\leq t\leq \frac{1}{2}.
Voltando à variável trigonométrica, obtemos
-1\leq \cos x\leq \frac{1}{2}.

Passo 4

Interpretando \;-1\leq \cos x\leq \tfrac{1}{2}\; no círculo trigonométrico: a condição \cos x\geq -1 é automática (pois \cos x nunca é menor que -1), então o real filtro é \cos x\leq \tfrac{1}{2}.
As soluções de \cos x=\tfrac{1}{2} no intervalo [0,2\pi] são
x=\frac{\pi}{3}\quad\text{e}\quad x=\frac{5\pi}{3}.
No círculo trigonométrico, \cos x é maior que \tfrac{1}{2} apenas no arco em torno de 0, isto é, para x\in\;[0,\tfrac{\pi}{3}[ \cup ]\tfrac{5\pi}{3},2\pi]. Portanto a região onde \cos x\leq \tfrac{1}{2} é o complemento desse arco, isto é o intervalo
\left[\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right]
no domínio [0,2\pi]. Como nosso domínio original é \;]0,2\pi]\;, o conjunto solução no domínio pedido é exatamente
\left[\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right],
porque \frac{\pi}{3}>0 e \frac{5\pi}{3}<2\pi, e as igualdades em \cos x são permitidas pela desigualdade original (era \geq e transformamos em \leq corretamente).

Passo 5

Resumo final do raciocínio:
  • Usamos \operatorname{sen}^{2}x=1-\cos^{2}x para transformar a inequação em uma quadrática em \cos x.
  • Resolvendo a quadrática obtemos \cos x\in[-1,\tfrac{1}{2}].
  • Isso corresponde, no intervalo \;]0,2\pi]\;, ao conjunto \left[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\right].

Resposta

c) \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]

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