O conjunto solução da inequação
, no intervalo
] é
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e pede o conjunto solução no intervalo
(ou seja,
não está incluído e
está incluído).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função trigonométrica envolvida é
e . - Queremos todos os
em que satisfazem a inequação . - As alternativas estão em forma de intervalos de
no círculo trigonométrico.
Passo 2
Vamos usar a identidade trigonométrica fundamental para eliminar
. A identidade é:
Dessa identidade segue que
Substituindo isso na inequação original temos:
Agora vou desenvolver e simplificar passo a passo:
Passo 3
Multiplico ambos os lados por
para obter um polinômio com coeficiente principal positivo (isso inverte o sinal da desigualdade):
Faço a substituição
(uma técnica padrão: transformar a inequação trigonométrica em uma inequação algébrica):
Agora resolvo a inequação quadrática. Primeiro calculo as raízes da equação associada
. O discriminante é
As raízes são
Isso dá as raízes
Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima e a desigualdade
é satisfeita exatamente quando
está entre as raízes. Logo
Voltando à variável trigonométrica, obtemos
Passo 4
Interpretando
no círculo trigonométrico: a condição
é automática (pois
nunca é menor que
), então o real filtro é
.
As soluções de
no intervalo
são
No círculo trigonométrico,
é maior que
apenas no arco em torno de
, isto é, para
. Portanto a região onde
é o complemento desse arco, isto é o intervalo
no domínio
. Como nosso domínio original é
, o conjunto solução no domínio pedido é exatamente
porque
e
, e as igualdades em
são permitidas pela desigualdade original (era
e transformamos em
corretamente).
Passo 5
Resumo final do raciocínio:
- Usamos
para transformar a inequação em uma quadrática em . - Resolvendo a quadrática obtemos
. - Isso corresponde, no intervalo
, ao conjunto .
Resposta
c)