Q1: O conjunto-solução de um sistema de m equações em 11 incógnitas é uma reta em \mathbb{R}^{11}. Um possivel valor de m é: \begin{array}{llllll}\text { (A) } 1 & \text { (B) } 3 & \text { \text{(C)} } 5 & \text { (D) } 6 & \text { (D) } 8 & \text { (F) } 11\end{array}

Passo 1

O enunciado diz: um sistema linear com m equações e 11 incógnitas tem conjunto- solução que é uma reta em \mathbb{R}^{11}. A pergunta: qual dos valores oferecidos para m pode ocorrer? As opções são:
(A) 1, (B) 3, (C) 5, (D) 6, (D) 8, (F) 11.
Informações relevantes que temos:
  • Número de incógnitas: 11.
  • O conjunto solução é uma reta em \mathbb{R}^{11}, ou seja, um subespaço afim de dimensão 1.
  • Queremos um valor de m (número de equações) compatível com isso.

Passo 2

Vamos traduzir a relação entre o número de equações, a matriz dos coeficientes e a dimensão do conjunto solução.
Considere o sistema linear na forma matricial A x = b, onde A é uma matriz m\times 11, x\in\mathbb{R}^{11} e b\in\mathbb{R}^{m}. Dois conceitos importantes:
  • \mathrm{rank}(A) é o posto (rank) da matriz A: número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
  • Para um sistema consistente (isto é, existe pelo menos uma solução), o conjunto de soluções é um subespaço afim cuja dimensão é igual a 11-\mathrm{rank}(A). Em notação:
\dim(\text{solução})=11-\mathrm{rank}(A).çã
(Se o sistema for homogêneo b=0, a solução é um subespaço linear e vale a mesma fórmula. Se for não homogêneo, é um subespaço afim; a fórmula da dimensão da direção é idêntica.)
Como o enunciado diz que o conjunto solução é uma reta, concluímos que
\dim(\text{solução})=1.çã
Usando a fórmula do passo anterior:
1=11-\mathrm{rank}(A)\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{rank}(A)=10.
Portanto precisamos que a matriz dos coeficientes tenha posto 10.

Passo 3

Agora relacionamos o posto com m. Sempre vale
\mathrm{rank}(A)\le \min(m,11).
Para ter \mathrm{rank}(A)=10 é necessário que m seja pelo menos 10 (porque se m<10 então \min(m,11)<10 e o posto não pode alcançar 10). Em outras palavras:
m\ge 10
é uma condição necessária.
Das opções dadas, só m=11 satisfaz m\ge 10. As opções 1,3,5,6,8 têm m<10, logo nelas necessariamente \mathrm{rank}(A)\le m<10, o que implica \dim(\text{solução})=11-\mathrm{rank}(A)\ge 11-m>1çã; portanto não podem produzir uma reta.

Passo 4

Para fechar: m=11 é realmente possível. Basta construir uma matriz A de tamanho 11\times 11 com posto 10 (por exemplo, faça as primeiras 10 linhas linearmente independentes e a 11ª linha igual a combinação linear das anteriores) e escolher b no espaço coluna de A (assim o sistema é consistente). Então o conjunto solução será um afim de dimensão 11-10=1, isto é, uma reta.

Resposta

(F) 11

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