Q1: O conjunto-solução de um sistema de
equações em 11 incógnitas é uma reta em
. Um possivel valor de
é:
Passo 1
O enunciado diz: um sistema linear com
equações e
incógnitas tem conjunto- solução que é uma reta em
. A pergunta: qual dos valores oferecidos para
pode ocorrer? As opções são:
(A) , (B)
, (C)
, (D)
, (D)
, (F)
.
(A)
Informações relevantes que temos:
- Número de incógnitas:
. - O conjunto solução é uma reta em
, ou seja, um subespaço afim de dimensão . - Queremos um valor de
(número de equações) compatível com isso.
Passo 2
Vamos traduzir a relação entre o número de equações, a matriz dos coeficientes e a dimensão do conjunto solução.
Considere o sistema linear na forma matricial
, onde
é uma matriz
,
e
. Dois conceitos importantes:
-
é o posto (rank) da matriz : número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. - Para um sistema consistente (isto é, existe pelo menos uma solução), o conjunto de soluções é um subespaço afim cuja dimensão é igual a
. Em notação:
(Se o sistema for homogêneo
, a solução é um subespaço linear e vale a mesma fórmula. Se for não homogêneo, é um subespaço afim; a fórmula da dimensão da direção é idêntica.)
Como o enunciado diz que o conjunto solução é uma reta, concluímos que
Usando a fórmula do passo anterior:
Portanto precisamos que a matriz dos coeficientes tenha posto
.
Passo 3
Agora relacionamos o posto com
. Sempre vale
Para ter
é necessário que
seja pelo menos
(porque se
então
e o posto não pode alcançar
). Em outras palavras:
é uma condição necessária.
Das opções dadas, só
satisfaz
. As opções
têm
, logo nelas necessariamente
, o que implica
; portanto não podem produzir uma reta.
Passo 4
Para fechar:
é realmente possível. Basta construir uma matriz
de tamanho
com posto
(por exemplo, faça as primeiras 10 linhas linearmente independentes e a 11ª linha igual a combinação linear das anteriores) e escolher
no espaço coluna de
(assim o sistema é consistente). Então o conjunto solução será um afim de dimensão
, isto é, uma reta.
Resposta
(F)