Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de quatro matrizes
em
e pede para decidir se elas formam uma base. O conteúdo é dimensão e independência linear em espaços vetoriais.
Passo 2
Lembrando que
, um conjunto de quatro matrizes é base se, e somente se, for linearmente independente.
Passo 3
Para testar independência, consideramos a combinação linear nula:
Passo 4
Escrevendo a igualdade em cada entrada, obtemos o sistema
Note que a primeira e a quarta equação são idênticas, restando três equações lineares.
Passo 5
Das duas últimas equações segue
e
. Substituindo na primeira dá
, ou seja,
Como existe solução não trivial
, as matrizes são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto dado não é base de
, pois é linearmente dependente.