Quais dos conjuntos abaixo são uma base? Justifique.
\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right]\right\} \operatorname{em} \mathbf{M}(2,2).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de quatro matrizes
A_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad A_4=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}
em \mathbf{M}(2,2) e pede para decidir se elas formam uma base. O conteúdo é dimensão e independência linear em espaços vetoriais.

Passo 2

Lembrando que \dim\mathbf{M}(2,2)=4, um conjunto de quatro matrizes é base se, e somente se, for linearmente independente.

Passo 3

Para testar independência, consideramos a combinação linear nula:
\alpha A_1 + \beta A_2 + \gamma A_3 + \delta A_4 = 0_{2\times2}.

Passo 4

Escrevendo a igualdade em cada entrada, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + \gamma + \delta = 0,\\\ \beta + \gamma = 0,\\\ \beta + \delta = 0,\\\ \alpha + \gamma + \delta = 0. \end{cases}
Note que a primeira e a quarta equação são idênticas, restando três equações lineares.

Passo 5

Das duas últimas equações segue \beta=-\gamma e \delta=\gamma. Substituindo na primeira dá \alpha+2\gamma=0, ou seja,
(\alpha,\beta,\gamma,\delta)=(-2t,\,-t,\,t,\,t),\quad t\in\mathbb{R}.
Como existe solução não trivial t\neq0, as matrizes são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto dado não é base de \mathbf{M}(2,2), pois é linearmente dependente.

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