Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
\left\{\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 3 & 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1 & 3 \\\\ 1 & 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\\ 4 & 2\end{array}\right]\right\} em \mathbf{M}(2,2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \bigl\{A_1,A_2,A_3\bigr\}\subset \mathbf{M}(2,2), onde
A_1 = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 3 & 3\end{pmatrix},\quad A_2 = \begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 1 & 5\end{pmatrix},\quad A_3 = \begin{pmatrix}2 & -3 \\\\ 4 & 2\end{pmatrix},
é linearmente independente. Para isso, usamos a definição: o conjunto é LI se, da igualdade
c_1A_1 + c_2A_2 + c_3A_3 = 0_{2\times2}
seguirem-se apenas a solução trivial c_1=c_2=c_3=0. Caso contrário, é linearmente dependente.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e igualamos a matriz zero, gerando um sistema nas entradas:
c_1\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 3 & 3\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 1 & 5\end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix}2 & -3 \\\\ 4 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Isso equivale ao sistema de quatro equações:
\begin{cases} c_1 - c_2 + 2c_3 = 0,\\\\ -\,c_1 +3c_2 -3c_3 = 0,\\\\ 3c_1 + c_2 +4c_3 = 0,\\\\ 3c_1 +5c_2 +2c_3 = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação obtemos
c_1 = c_2 - 2c_3.
Substituindo na segunda:
- (c_2 - 2c_3) +3c_2 -3c_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2c_2 - c_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_3 = 2c_2.
As terceira e quarta equações, após substituir c_1 e c_3, se reduzem a identidades (não trazem novas condições). Logo só temos a relação
c_3 = 2c_2,\quad c_1 = c_2 -2(2c_2) = -3c_2,
isto é, infinitas soluções além da trivial.

Passo 4

Como existe solução não-trivial (por exemplo, c_2=1 (c_1,c_2,c_3)=(-3,1,2)), o conjunto é linearmente dependente. A relação explícita de dependência é
-3\,A_1 + 1\,A_2 + 2\,A_3 \;=\; 0_{2\times2}.

Resposta

O conjunto \{A_1,A_2,A_3\} é linearmente dependente.

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