Seja \mathcal{P}_{2} o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que \mathcal{P}_{2}=\left[1+t, 1-t, t^{2}\right].
(b) Escreva p(t)=2-t+3 t^{2} como combinação linear dos vetores 1+t, 1-t, t^{2}.
Passo 1
O enunciado trabalha em \mathcal{P}_{2}, o espaço de todos os polinômios de grau \le2 com coeficientes reais. Na parte (a) precisamos mostrar que
Isso mostra que, dado qualquer (a,b,c), existe (\alpha,\beta,\gamma) e, portanto, \mathcal{P}_{2}\subseteq\bigl[\,1+t,1-t,t^{2}\bigr]. Como \dim\mathcal{P}_{2}=3 e temos 3 vetores geradores, concluímos que eles formam uma base e, logo, geram todo \mathcal{P}_{2}.
Passo 4
Para p(t)=2 - t +3t^{2} identificamos a=2, b=-1 e c=3. Assim,