Seja \mathcal{P}_{2} o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que \mathcal{P}_{2}=\left[1+t, 1-t, t^{2}\right].
(b) Escreva p(t)=2-t+3 t^{2} como combinação linear dos vetores 1+t, 1-t, t^{2}.

Passo 1

O enunciado trabalha em \mathcal{P}_{2}, o espaço de todos os polinômios de grau \le2 com coeficientes reais. Na parte (a) precisamos mostrar que
\mathcal{P}_{2} = \bigl[\,1+t,\;1-t,\;t^{2}\bigr],
ou seja, todo polinômio de grau até 2 pode ser escrito como combinação linear de 1+t, 1-t e t^{2}. Na parte (b) vamos, especificamente, escrever
p(t)=2 - t +3t^{2}
nessa combinação.

Passo 2

Para provar que
\mathcal{P}_{2} \;=\;\bigl[\,1+t,\;1-t,\;t^{2}\bigr]
basta mostrar que um polinômio genérico
q(t)=a + b\,t + c\,t^{2}
pode ser escrito como
q(t) \;=\;\alpha\,(1+t)\;+\;\beta\,(1-t)\;+\;\gamma\,t^{2}.
Expandindo o lado direito, temos
\alpha(1+t) + \beta(1-t) + \gamma t^{2} = (\alpha+\beta) \;+\;(\alpha-\beta)\,t \;+\;\gamma\,t^{2}.
Comparando com a + b\,t + c\,t^{2}, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = a,\\\ \alpha - \beta = b,\\\ \gamma = c. \end{cases}

Passo 3

O sistema é sempre resolvível:
\alpha = \frac{a+b}{2}, \quad \beta = \frac{a-b}{2}, \quad \gamma = c.
Isso mostra que, dado qualquer (a,b,c), existe (\alpha,\beta,\gamma) e, portanto, \mathcal{P}_{2}\subseteq\bigl[\,1+t,1-t,t^{2}\bigr]. Como \dim\mathcal{P}_{2}=3 e temos 3 vetores geradores, concluímos que eles formam uma base e, logo, geram todo \mathcal{P}_{2}.

Passo 4

Para p(t)=2 - t +3t^{2} identificamos a=2, b=-1 e c=3. Assim,
\alpha = \frac{2+(-1)}{2} = \tfrac12, \quad \beta = \frac{2-(-1)}{2} = \tfrac32, \quad \gamma = 3.
Logo
p(t) = \tfrac12\,(1+t) \;+\;\tfrac32\,(1-t)\;+\;3\,t^{2}.

Resposta

\boxed{p(t)=2 - t +3t^{2} =\tfrac12\,(1+t)\;+\;\tfrac32\,(1-t)\;+\;3\,t^{2}.}
Além disso, concluímos que \{\,1+t,\;1-t,\;t^{2}\} é base de \mathcal{P}_{2}, ou seja,
\mathcal{P}_{2}=\bigl[\,1+t,\;1-t,\;t^{2}\bigr].

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