Os conjuntos abaixo são subconjuntos do 
 . Verificar quais são subespaços vetoriais do 
 .
(a) 
  e 
 
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre conjuntos que são subconjuntos de 
 , que é o espaço tridimensional que a gente usa para representar pontos com três coordenadas: 
 , 
  e 
 . A gente precisa verificar se o conjunto 
  é um subespaço vetorial de 
 . Para isso, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as propriedades que 
  precisa satisfazer para ser um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: O vetor 
precisa estar em .  - Fechado na adição: Se você pegar dois vetores em 
e somar, o resultado também precisa estar em .  - Fechado na multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor em 
e multiplicar por qualquer número real, o resultado também precisa estar em .  
Vamos verificar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Vamos ver se 
  está em 
 .
Temos 
  e 
 .
Substituindo 
 , temos 
 .
E 
 .
Então, 
  está em 
 . Essa primeira condição está OK!
Passo 4
2. Fechado na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em 
 :
Vamos somar esses dois vetores:
Agora, precisamos verificar se 
 .
Como 
  e 
 , então:
Então, 
  também satisfaz 
  e 
 . Portanto, 
  é fechado na adição!
Passo 5
3. Fechado na multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em 
 :
Agora, vamos multiplicar esse vetor por um escalar 
 :
Precisamos verificar se 
 .
Como 
 , então:
Assim, 
  também satisfaz 
  e 
 . Portanto, 
  é fechado na multiplicação por escalar!
Resposta
O conjunto 
  é um subespaço vetorial de 
 .