Por conservação de energia, demonstre a equação diferencial que governa um circuito LC (eq. 31-11). Do ponto de vista matemático, classifique essa equação. Por analogia com oscilador harmônico, escreva a solução q(t).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dados:
- Pedem para demonstrar, por conservação de energia, a equação diferencial que governa um circuito
(a chamada eq. 31-11). - Pedem que eu classifique, do ponto de vista matemático, essa equação.
- Pedem que eu escreva a solução
por analogia com o oscilador harmônico.
Informações relevantes dadas (ou implicitamente necessárias):
- Há um capacitor com capacitância
. A carga no capacitor é . - Há um indutor com indutância
. A corrente no circuito é . - A energia armazenada no capacitor e no indutor são usadas na conservação de energia.
- Vou assumir circuito ideal (sem resistência), logo energia total é conservada.
Passo 2
Escrevendo as expressões de energia e explicando cada termo:
- Energia elétrica no capacitor: a carga
do capacitor armazena energia dada por
Aqui
é a carga no capacitor (unidade Coulomb) e
é a capacitância (Farad). A fórmula vem da integração da energia incremental
usando
.
- Energia magnética no indutor: a corrente
que passa pelo indutor armazena energia
Aqui
é a indutância (Henry) e usamos
.
Total de energia no circuito ideal:
Passo 3
Aplicando conservação de energia (energia total constante no tempo):
A conservação de energia num circuito ideal sem perdas diz que
é constante, portanto sua derivada temporal é zero:
Agora calcule a derivada passo a passo. Derivando
usando a regra da cadeia. E
novamente regra da cadeia / produto (aqui visto como derivada de
, com
).
Somando as duas derivadas e impondo zero:
Passo 4
Simplificando a equação obtida:
Fatorando
da expressão anterior,
Há duas possibilidades matemáticas: ou
para todo o tempo (caso trivial sem dinâmica), ou o fator entre parênteses se anula. Para o caso não trivial (oscilação), exigimos
Dividindo por
(assumindo
):
Essa é a equação diferencial buscada (eq. 31-11).
Passo 5
Classificação matemática da equação diferencial:
A equação
é:
- de segunda ordem (porque aparece
); - linear (a função incógnita
e suas derivadas aparecem de forma linear, sem produtos ou funções não-lineares de ); - homogênea (lado direito é zero);
- com coeficientes constantes (o coeficiente
é constante no tempo).
Fisicamente, é análoga à equação do oscilador harmônico simples, com a correspondência e .
A frequência angular natural é
Passo 6
Resolvendo a equação por analogia com o oscilador harmônico:
Parto da equação
Forma padrão de solução: suponha solução exponencial
. Plugando na equação obtém-se a equação característica
As raízes são
Como as raízes são complexas puras, a solução real geral é combinação de seno e cosseno:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Interpretando constantes com condições iniciais e forma com amplitude/fase:
Se conhecemos
e
, então
Também podemos escrever a solução na forma de amplitude e fase:
com
ou equivalente conforme convenção de sinal da fase.
A corrente correspondente é
Passo 8
Comentário físico final (rápido e motivador):
O que isso diz fisicamente é que a energia oscila entre o capacitor (
) e o indutor (
) com frequência
, sem amortecimento num circuito ideal. Se sentir pânico, lembra: o circuito LC é só um pêndulo elétrico — mesmos conceitos, outras letras. Você consegue!
Resposta
Segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes (oscilador harmônico simples), frequência angular
.