Por conservação de energia, demonstre a equação diferencial que governa um circuito LC (eq. 31-11). Do ponto de vista matemático, classifique essa equação. Por analogia com oscilador harmônico, escreva a solução q(t).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dados:
  • Pedem para demonstrar, por conservação de energia, a equação diferencial que governa um circuito LC (a chamada eq. 31-11).
  • Pedem que eu classifique, do ponto de vista matemático, essa equação.
  • Pedem que eu escreva a solução q(t) por analogia com o oscilador harmônico.
Informações relevantes dadas (ou implicitamente necessárias):
  • Há um capacitor com capacitância C. A carga no capacitor é q(t).
  • Há um indutor com indutância L. A corrente no circuito é i(t)=\dfrac{dq}{dt}.
  • A energia armazenada no capacitor e no indutor são usadas na conservação de energia.
  • Vou assumir circuito ideal (sem resistência), logo energia total é conservada.

Passo 2

Escrevendo as expressões de energia e explicando cada termo:
  • Energia elétrica no capacitor: a carga q do capacitor armazena energia dada por
U_C=\frac{q^2}{2C}.
Aqui \;q\; é a carga no capacitor (unidade Coulomb) e \;C\; é a capacitância (Farad). A fórmula vem da integração da energia incremental \dfrac{v\,dq}{2} usando v=q/C.
  • Energia magnética no indutor: a corrente i que passa pelo indutor armazena energia
U_L=\frac{1}{2}L\,i^2=\frac{1}{2}L\left(\frac{dq}{dt}\right)^2.
Aqui \;L\; é a indutância (Henry) e usamos i=dq/dt.
Total de energia no circuito ideal:
E_{\text{total}}(t)=U_C+U_L=\frac{q^2}{2C}+\frac{1}{2}L\left(\frac{dq}{dt}\right)^2.

Passo 3

Aplicando conservação de energia (energia total constante no tempo):
A conservação de energia num circuito ideal sem perdas diz que E_{\text{total}}(t) é constante, portanto sua derivada temporal é zero:
\frac{d}{dt}E_{\text{total}}(t)=0.
Agora calcule a derivada passo a passo. Derivando
\frac{d}{dt}\left(\frac{q^2}{2C}\right)=\frac{1}{2C}\cdot 2q\frac{dq}{dt}=\frac{q}{C}\frac{dq}{dt},
usando a regra da cadeia. E
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}L\left(\frac{dq}{dt}\right)^2\right)=\frac{1}{2}L\cdot 2\frac{dq}{dt}\frac{d^2q}{dt^2}=L\frac{dq}{dt}\frac{d^2q}{dt^2},
novamente regra da cadeia / produto (aqui visto como derivada de i^2, com i=dq/dt).
Somando as duas derivadas e impondo zero:
\frac{q}{C}\frac{dq}{dt}+L\frac{dq}{dt}\frac{d^2q}{dt^2}=0.

Passo 4

Simplificando a equação obtida:
Fatorando \dfrac{dq}{dt} da expressão anterior,
\frac{dq}{dt}\left(\frac{q}{C}+L\frac{d^2q}{dt^2}\right)=0.
Há duas possibilidades matemáticas: ou \dfrac{dq}{dt}=0 para todo o tempo (caso trivial sem dinâmica), ou o fator entre parênteses se anula. Para o caso não trivial (oscilação), exigimos
L\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{q}{C}=0.
Dividindo por L (assumindo L\neq 0):
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}\,q=0.
Essa é a equação diferencial buscada (eq. 31-11).

Passo 5

Classificação matemática da equação diferencial:
A equação
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}\,q=0
é:
  • de segunda ordem (porque aparece \dfrac{d^2q}{dt^2});
  • linear (a função incógnita q e suas derivadas aparecem de forma linear, sem produtos ou funções não-lineares de q);
  • homogênea (lado direito é zero);
  • com coeficientes constantes (o coeficiente \dfrac{1}{LC} é constante no tempo).
    Fisicamente, é análoga à equação do oscilador harmônico simples m\ddot{x}+k x=0, com a correspondência m\leftrightarrow L e k\leftrightarrow 1/C.
A frequência angular natural é
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.

Passo 6

Resolvendo a equação por analogia com o oscilador harmônico:
Parto da equação
\frac{d^2q}{dt^2}+\omega_0^2 q=0,\quad\text{com}\quad \omega_0^2=\frac{1}{LC}.
Forma padrão de solução: suponha solução exponencial q(t)=e^{rt}. Plugando na equação obtém-se a equação característica
r^2+\omega_0^2=0.
As raízes são
r=\pm i\omega_0.
Como as raízes são complexas puras, a solução real geral é combinação de seno e cosseno:
q(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Interpretando constantes com condições iniciais e forma com amplitude/fase:
Se conhecemos q(0)=q_0 e i(0)=\dot{q}(0)=i_0, então
A=q_0,\qquad B=\frac{i_0}{\omega_0}.
Também podemos escrever a solução na forma de amplitude e fase:
q(t)=Q_0\cos(\omega_0 t+\varphi),
com
Q_0=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{q_0^2+\left(\frac{i_0}{\omega_0}\right)^2}, \qquad \varphi=\operatorname{atan2}\!\left(-B,A\right)=\operatorname{atan2}\!\left(-\frac{i_0}{\omega_0},q_0\right),
ou equivalente conforme convenção de sinal da fase.
A corrente correspondente é
i(t)=\frac{dq}{dt}=-A\omega_0\sin(\omega_0 t)+B\omega_0\cos(\omega_0 t)= -Q_0\omega_0\sin(\omega_0 t+\varphi).

Passo 8

Comentário físico final (rápido e motivador):
O que isso diz fisicamente é que a energia oscila entre o capacitor ( U_C) e o indutor ( U_L) com frequência \omega_0=1/\sqrt{LC}, sem amortecimento num circuito ideal. Se sentir pânico, lembra: o circuito LC é só um pêndulo elétrico — mesmos conceitos, outras letras. Você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}\,q=0
Segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes (oscilador harmônico simples), frequência angular \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}.
\displaystyle q(t)=A\cos\!\big(\omega_0 t\big)+B\sin\!\big(\omega_0 t\big)=Q_0\cos\!\big(\omega_0 t+\varphi\big)

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