3 Um capacitor circular possui raio
. Ele é carregado por uma corrente constante
. Encontre a expressão literal para o campo magnético em função do raio a partir do eixo do capacitor.
Calcule o módulo do campo magnético a uma distância a)
e b)
do eixo do capacitor.
Calcule o módulo do campo magnético a uma distância a)
Passo 1
O enunciado fornece: o capacitor é circular com raio
e está sendo carregado por uma corrente constante
. Pede-se: (i) a expressão do campo magnético
em função da distância radial
a partir do eixo do capacitor; (ii) o módulo de
em
e em
. Essas são as informações e pedidos que usaremos.
Passo 2
Ideia física e lei utilizada — explicação didática: quando um capacitor é carregado por uma corrente
não há corrente de condução atravessando o espaço entre as placas, mas há variação do campo elétrico entre as placas. Maxwell introduziu o conceito de corrente de deslocamento para manter a consistência da lei de Ampère; a forma completa da lei (Ampère–Maxwell) é:
Aqui:
-
é o campo magnético, -
é a integral de linha do campo magnético ao longo de um contorno fechado (o nosso círculo Amperiano), -
é a permeabilidade do vácuo ( ), -
é a corrente de condução atravessando a superfície encostada ao contorno (entre as placas é zero), -
é a permissividade do vácuo, -
é o fluxo do campo elétrico através da superfície escolhida.
No caso do capacitor entre placas, substituímos a contribuição de condução pelo equivalente da corrente de deslocamento. O resultado prático: a integral de linha será igual a vezes a corrente de deslocamento que atravessa a superfície delimitada pelo contorno. Para um capacitor com placas circulares e simetria azimutal, a corrente de deslocamento através de uma área circular de raio (centro no eixo) é proporcional à área .
Passo 3
Simetria e escolha do contorno Amperiano: por simetria cilíndrica (o problema depende só de
) o campo magnético é tangencial a círculos concêntricos ao eixo e tem magnitude constante em um círculo de raio
. Escolhemos o contorno como um círculo de raio
. Então a integral de linha se torna
Passo 4
Corrente de deslocamento “encapsulada” quando
— dedução detalhada: entre as placas o campo elétrico é praticamente uniforme sobre a área dos discos (pressuposto habitual para capacitor de placas paralelas com separação pequena). Assim a taxa de variação do fluxo elétrico através de uma área circular de raio
é proporcional à área dessa circunferência. Como a corrente de carga
que chega a uma placa corresponde à variação total do fluxo elétrico através da área total
, a parcela da corrente de deslocamento que atravessa a área
(com
) é
Aplicando Ampère–Maxwell (sem corrente de condução através da superfície entre placas, apenas deslocamento):
Isolando
obtemos, para
,
Explicação do resultado: dentro da área do disco o campo cresce linearmente com
(porque a corrente de deslocamento “enclausurada” cresce com a área
, e dividimos por
da integral de linha).
Passo 5
Campo para
— dedução: se o raio do contorno é maior que o raio das placas, toda a corrente de deslocamento que corresponde à corrente de carga atravessa a superfície. Assim
. Pela mesma Ampère–Maxwell:
Isolando
obtemos, para
,
Comentário: para
o campo se comporta como o campo magnético de uma corrente \emph{efetiva}
concentrada no eixo (circulação total dada por
).
Passo 6
Resumo das expressões finais (literalmente):
Essas duas expressões coincidem em
(continuidade): avaliando a primeira em
dá
, mesma que a segunda em
.
Passo 7
Cálculo numérico — preparar conversões: convertemos para o SI:
Usaremos a constante simplificada
Passo 8
Cálculo para
(caso
): usar a expressão interna
Substituindo passo a passo:
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
Passo 9
Cálculo para
(caso
): usar a expressão externa
Substituindo:
Arredondando (3 algarismos significativos):
Resposta
a)
b)
b)