3 Um capacitor circular possui raio 1,00 \mathrm{~cm}. Ele é carregado por uma corrente constante I=8,64 \mathrm{~A}. Encontre a expressão literal para o campo magnético em função do raio a partir do eixo do capacitor.
Calcule o módulo do campo magnético a uma distância a) r_{1}=0,261 \mathrm{~cm} e b) r_{2}=1,40 \mathrm{~cm} do eixo do capacitor.

Passo 1

O enunciado fornece: o capacitor é circular com raio a=1,00\\ \mathrm{cm} e está sendo carregado por uma corrente constante I=8,64\\ \mathrm{A}. Pede-se: (i) a expressão do campo magnético B em função da distância radial r a partir do eixo do capacitor; (ii) o módulo de B em r_1=0,261\\ \mathrm{cm} e em r_2=1,40\\ \mathrm{cm}. Essas são as informações e pedidos que usaremos.

Passo 2

Ideia física e lei utilizada — explicação didática: quando um capacitor é carregado por uma corrente I não há corrente de condução atravessando o espaço entre as placas, mas há variação do campo elétrico entre as placas. Maxwell introduziu o conceito de corrente de deslocamento para manter a consistência da lei de Ampère; a forma completa da lei (Ampère–Maxwell) é:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0\left(I_{\text{cond, enc}}+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right).
Aqui:
  • \mathbf{B} é o campo magnético,
  • \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} é a integral de linha do campo magnético ao longo de um contorno fechado (o nosso círculo Amperiano),
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}),
  • I_{\text{cond, enc}} é a corrente de condução atravessando a superfície encostada ao contorno (entre as placas é zero),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo,
  • \Phi_E é o fluxo do campo elétrico através da superfície escolhida.
    No caso do capacitor entre placas, substituímos a contribuição de condução pelo equivalente da corrente de deslocamento \varepsilon_0\,d\Phi_E/dt. O resultado prático: a integral de linha será igual a \mu_0 vezes a corrente de deslocamento que atravessa a superfície delimitada pelo contorno. Para um capacitor com placas circulares e simetria azimutal, a corrente de deslocamento através de uma área circular de raio r (centro no eixo) é proporcional à área \pi r^2.

Passo 3

Simetria e escolha do contorno Amperiano: por simetria cilíndrica (o problema depende só de r) o campo magnético é tangencial a círculos concêntricos ao eixo e tem magnitude constante em um círculo de raio r. Escolhemos o contorno como um círculo de raio r. Então a integral de linha se torna
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B(r)\cdot 2\pi r.

Passo 4

Corrente de deslocamento “encapsulada” quando r<a — dedução detalhada: entre as placas o campo elétrico é praticamente uniforme sobre a área dos discos (pressuposto habitual para capacitor de placas paralelas com separação pequena). Assim a taxa de variação do fluxo elétrico através de uma área circular de raio r é proporcional à área dessa circunferência. Como a corrente de carga I que chega a uma placa corresponde à variação total do fluxo elétrico através da área total \pi a^2, a parcela da corrente de deslocamento que atravessa a área \pi r^2 (com r\le a) é
I_{\text{disp, enc}}=I\cdot\frac{\pi r^2}{\pi a^2}=I\frac{r^2}{a^2}.
Aplicando Ampère–Maxwell (sem corrente de condução através da superfície entre placas, apenas deslocamento):
B(r)\cdot 2\pi r=\mu_0 I_{\text{disp, enc}}=\mu_0 I\frac{r^2}{a^2}.
Isolando B(r) obtemos, para r\le a,
\boxed{B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\cdot\frac{r}{a^2}.}
Explicação do resultado: dentro da área do disco o campo cresce linearmente com r (porque a corrente de deslocamento “enclausurada” cresce com a área \propto r^2, e dividimos por r da integral de linha).

Passo 5

Campo para r\ge a — dedução: se o raio do contorno é maior que o raio das placas, toda a corrente de deslocamento que corresponde à corrente de carga atravessa a superfície. Assim I_{\text{disp, enc}}=I. Pela mesma Ampère–Maxwell:
B(r)\cdot 2\pi r=\mu_0 I.
Isolando B(r) obtemos, para r\ge a,
\boxed{B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.}
Comentário: para r\ge a o campo se comporta como o campo magnético de uma corrente \emph{efetiva} I concentrada no eixo (circulação total dada por I).

Passo 6

Resumo das expressões finais (literalmente):
\text{para }0\le r\le a:\qquad B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\,\frac{r}{a^2}.
\text{para }r\ge a:\qquad B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Essas duas expressões coincidem em r=a (continuidade): avaliando a primeira em r=a \mu_0 I/(2\pi a), mesma que a segunda em r=a.

Passo 7

Cálculo numérico — preparar conversões: convertemos para o SI:
a=1,00\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m},\qquad r_1=0,261\\ \mathrm{cm}=0,00261\\ \mathrm{m},
r_2=1,40\\ \mathrm{cm}=0,014\\ \mathrm{m},\qquad I=8,64\\ \mathrm{A},\qquad \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Usaremos a constante simplificada
\frac{\mu_0}{2\pi}=2\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 8

Cálculo para r_1=0,00261\\ \mathrm{m} (caso r_1<a): usar a expressão interna
B(r_1)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\cdot\frac{r_1}{a^2}.
Substituindo passo a passo:
\frac{\mu_0}{2\pi}=2\times 10^{-7},
a^2=(0,01)^2=1\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2,
\frac{\mu_0 I}{2\pi a^2}=2\times 10^{-7}\cdot\frac{8,64}{1\times 10^{-4}}=2\times 10^{-3}\cdot 8,64=0,01728,
B(r_1)=0,01728\cdot 0,00261=0,0000451008\\ \mathrm{T}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
B(r_1)\approx 4,51\times 10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Passo 9

Cálculo para r_2=0,014\\ \mathrm{m} (caso r_2>a): usar a expressão externa
B(r_2)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r_2}.
Substituindo:
\frac{\mu_0 I}{2\pi}=2\times 10^{-7}\cdot 8,64=1,728\times 10^{-6},
B(r_2)=\frac{1,728\times 10^{-6}}{0,014}=1,2342857\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Arredondando (3 algarismos significativos):
B(r_2)\approx 1,23\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}.

Resposta

a) B(r_1)=4,51\times 10^{-5}\\ \mathrm{T}
b) B(r_2)=1,23\times 10^{-4}\\ \mathrm{T}

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