Consider the test of H_{0}: \sigma^{2}=10 against H_{1}: \sigma^{2}>10. What are the critical values for the test statistic \chi_{0}^{2} for the following significance levels and sample sizes?
\alpha=0.10 and n=15

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: temos o teste de hipóteses
H_{0}: \sigma^{2}=10\quad\text{versus}\quad H_{1}: \sigma^{2}>10.
Os dados fornecidos são \alpha=0,10 e n=15. O que o enunciado pede: determinar o(s) valor(es) crítico(s) para a estatística de teste \chi_{0}^{2} nessas condições.

Passo 2

Definição da estatística de teste e distribuição sob H_{0}. A estatística usual para testar variância é
\chi_{0}^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}},
onde:
  • \chi_{0}^{2} é a estatística observada (numérica) que segue, sob H_{0}, uma distribuição qui‑quadrado;
  • n é o tamanho da amostra;
  • S^{2} é a variância amostral;
  • \sigma_{0}^{2} é a variância sob H_{0} (aqui \sigma_{0}^{2}=10).
    Além disso, sob H_{0},
\chi_{0}^{2}\sim\chi^{2}_{\nu}\quad\text{com}\quad \nu=n-1
onde \nu é o número de graus de liberdade.

Passo 3

Determinar a forma da região crítica. Como a hipótese alternativa é \sigma^{2}>10, rejeitamos H_{0} para valores grandes de \chi_{0}^{2}. Portanto a região crítica é da cauda direita e o valor crítico é o quantil de nível 1-\alpha da distribuição qui‑quadrado:
\text{valor crítico}=\chi^{2}_{1-\alpha,\;\nu}.í

Passo 4

Substituir os números. Temos n=15 então \nu=n-1=14. Com \alpha=0,10 precisamos do quantil de nível 1-\alpha=0,90. Assim
\text{valor crítico}=\chi^{2}_{0,90,14}.í
Esse valor é obtido em tabela qui‑quadrado ou software. O valor tabelado é
\chi^{2}_{0,90,14}=21,064\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Concluir com a regra de decisão prática. A região crítica (região de rejeição) do teste é
\{\chi_{0}^{2}>\;21,064\}.
Ou seja: calcula-se \chi_{0}^{2}=(n-1)S^{2}/\sigma_{0}^{2} e rejeita‑se H_{0} se esse valor for maior que 21,064.

Resposta

\chi^{2}_{0,90,14}=21,064
Região crítica: \chi_{0}^{2}>21,064

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