Consider the test of H_{0}: \sigma^{2}=10 against H_{1}: \sigma^{2}>10. What are the critical values for the test statistic \chi_{0}^{2} for the following significance levels and sample sizes?
\alpha=0.01 and n=20

Passo 1

O enunciado fornece um teste de hipótese sobre a variância com as seguintes informações:
  • Hipóteses: H_{0}: \sigma^{2}=10 contra H_{1}: \sigma^{2}>10.
  • Nível de significância: \alpha=0,01.
  • Tamanho da amostra: n=20.
    A pergunta é: qual é (quais são) os valores críticos para a estatística de teste \chi_{0}^{2} para esses dados?

Passo 2

Definição da estatística de teste e interpretação das letras (explicação didática):
A estatística usual para testar hipóteses sobre a variância é
\chi_{0}^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}},
onde:
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=20);
  • S^{2} é a variância amostral (estimador de \sigma^{2});
  • \sigma_{0}^{2} é o valor da variância sob H_{0} (aqui \sigma_{0}^{2}=10).
    Teoria essencial: sob H_{0} e assumindo normalidade da população, \chi_{0}^{2} segue a distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Determinar o tipo de região de rejeição (por que é à direita):
Como a hipótese alternativa é H_{1}: \sigma^{2}>10, queremos detectar variâncias amostrais maiores que a hipótese. Isso gera uma região de rejeição no cauda superior da distribuição qui-quadrado. Portanto:
  • Rejeitamos H_{0} se
\chi_{0}^{2}>\chi_{1-\alpha,\;n-1}^{2},
onde \chi_{1-\alpha,\;n-1}^{2} é o quantil superior de ordem 1-\alpha da distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade.

Passo 4

Calcular os graus de liberdade e identificar o quantil necessário:
  • Graus de liberdade: n-1 = 20-1 = 19.
  • Precisamos do quantil \chi_{1-\alpha,\;19}^{2}=\chi_{0,99,\;19}^{2} (pois 1-\alpha=0,99).
    Como obter esse valor: em provas normalmente você consulta a tabela da distribuição qui-quadrado ou usa uma calculadora/soft (por exemplo, em R: qchisq(0.99,19)). A partir da tabela/consulta obtemos o valor numérico.

Passo 5

Obter o valor numérico do quantil (explicando arredondamento):
O quantil superior para df=19 e probabilidade 0,99 é aproximadamente
\chi_{0,99,\;19}^{2}\approx 36,19.
Interpretação prática: essa é a fronteira; se a estatística calculada \chi_{0}^{2} for maior que 36,19, rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0,01.

Resposta

\chi_{0}^{2}>\chi_{0,99,\;19}^{2}\approx 36,19

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