Consider the torsion of a rod that is 1 m long and 50 mm in diameter.
A. If one end of the rod were twisted by
relative to the other end, what would be the largest principal strain on the surface?
B. If the rod were extended by
and its diameter decreased by
at the same time that it was being twisted, what would be the largest principal strain?
A. If one end of the rod were twisted by
B. If the rod were extended by
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Comprimento do bastão:
. - Diâmetro do bastão:
. - Raio externo:
.
Questões:
A. Com uma torção relativa entre as extremidades de , qual é a maior deformação principal na superfície?
B. Se, ao mesmo tempo, o bastão sofre alongamento axial de e o diâmetro diminui
, mantendo a torção de
, qual é a maior deformação principal?
A. Com uma torção relativa entre as extremidades de
B. Se, ao mesmo tempo, o bastão sofre alongamento axial de
Passo 2
Entender a relação entre torção e deformação de cisalhamento na superfície.
- Quando um cilindro é torcido por um ângulo total
ao longo do comprimento , o ângulo de torção por unidade de comprimento (twist rate) é (em rad/m). - Um ponto na superfície, a distância radial
do eixo, sofre uma deformação de cisalhamento aproximadamente igual a
- No contorno (superfície)
obtemos a máxima deformação de cisalhamento:
Isto é uma fórmula padrão de pequenas deformações por torção:
é sem unidade (razão).
Passo 3
Calcular a deformação de cisalhamento na superfície para
.
- Converter o ângulo para radianos:
- Usar
e :
Passo 4
Determinar a maior deformação principal no caso de pura torção (sem deformações normais extras).
- Para um estado de deformação que só tem cisalhamento no plano (ou seja, componentes normais zero e apenas
entre duas direções), as deformações principais são
- A maior deformação principal (tensional) em módulo é, portanto,
- Em porcentagem isso é aproximadamente
.
Passo 5
Preparar para o caso combinado (parte B): quais componentes da deformação temos?
- O enunciado diz que o bastão é estendido axialmente
. Isso corresponde à deformação axial
- O diâmetro diminui
, ou seja a deformação na direção circunferencial (transversal) é
(Para pequenas deformações, a mudança percentual do diâmetro é igual à deformação normal na direção do diâmetro.)
- Mantemos a mesma deformação de cisalhamento devido à torção entre as direções axial e circunferencial:
- Assim temos um tensor de deformação bidimensional, nas direções (axial
, circunferencial ):
Passo 6
Como obter as deformações principais a partir desse tensor 2×2?
- Para uma matriz simétrica
as deformações principais são as raízes da equação característica e podem ser escritas como
- No nosso caso:
Passo 7
Calcular numericamente as deformações principais no caso combinado.
- Primeiro a média:
- Metade da diferença:
- Norma usada no radical:
- Logo as deformações principais são
- A maior deformação principal (tensional) é
, ou em porcentagem .
Passo 8
Interpretação breve e comparação entre A e B (motivacional rápido).
- No caso A (somente torção) a maior deformação principal é muito pequena porque torção gera principalmente cisalhamento; a componente principal de tração é
. - No caso B, já existia uma grande deformação axial (
); a torção só altera ligeiramente a maior deformação principal, elevando-a de para cerca de . Ou seja, a contribuição da cisalhamento à maior deformação é muito pequena comparada ao alongamento axial.
Resposta
A.
(≈
).
B. (≈
).
B.