Consider the torsion of a rod that is 1 m long and 50 mm in diameter.
A. If one end of the rod were twisted by 1.2^{\circ} relative to the other end, what would be the largest principal strain on the surface?
B. If the rod were extended by 1.2 \% and its diameter decreased by 0.4 \% at the same time that it was being twisted, what would be the largest principal strain?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Comprimento do bastão: L=1{,}0\\ \text{m}.
  • Diâmetro do bastão: d=50\\ \text{mm}=0{,}050\\ \text{m}.
  • Raio externo: a=\dfrac{d}{2}=0{,}025\\ \text{m}.
Questões:
A. Com uma torção relativa entre as extremidades de 1{,}2^\circ, qual é a maior deformação principal na superfície?
B. Se, ao mesmo tempo, o bastão sofre alongamento axial de 1{,}2\% e o diâmetro diminui 0{,}4\%, mantendo a torção de 1{,}2^\circ, qual é a maior deformação principal?

Passo 2

Entender a relação entre torção e deformação de cisalhamento na superfície.
  • Quando um cilindro é torcido por um ângulo total \varphi ao longo do comprimento L, o ângulo de torção por unidade de comprimento (twist rate) é \dfrac{\varphi}{L} (em rad/m).
  • Um ponto na superfície, a distância radial r do eixo, sofre uma deformação de cisalhamento aproximadamente igual a
\gamma(r)=r\cdot\frac{\varphi}{L}.
  • No contorno (superfície) r=a obtemos a máxima deformação de cisalhamento:
\gamma_{\max}=a\cdot\frac{\varphi}{L}.
Isto é uma fórmula padrão de pequenas deformações por torção: \gamma é sem unidade (razão).

Passo 3

Calcular a deformação de cisalhamento na superfície para \varphi=1{,}2^\circ.
  • Converter o ângulo para radianos:
\varphi = 1{,}2^\circ = 1{,}2\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{150}\\ \text{rad}.
  • Usar a=0{,}025\\ \text{m} e L=1\\ \text{m}:
\gamma_{\max}=a\frac{\varphi}{L}=0{,}025\cdot\frac{\pi}{150}=\frac{\pi}{6000}\approx 0{,}0005235988.

Passo 4

Determinar a maior deformação principal no caso de pura torção (sem deformações normais extras).
  • Para um estado de deformação que só tem cisalhamento no plano (ou seja, componentes normais zero e apenas \gamma entre duas direções), as deformações principais são
\varepsilon_{1,2}=\pm\frac{\gamma}{2}.
  • A maior deformação principal (tensional) em módulo é, portanto,
\varepsilon_{\max}=\frac{\gamma_{\max}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{6000}=\frac{\pi}{12000}\approx 0{,}0002617994.
  • Em porcentagem isso é aproximadamente 0{,}02618\%.

Passo 5

Preparar para o caso combinado (parte B): quais componentes da deformação temos?
  • O enunciado diz que o bastão é estendido axialmente 1{,}2\%. Isso corresponde à deformação axial
\varepsilon_z=+0{,}012.
  • O diâmetro diminui 0{,}4\%, ou seja a deformação na direção circunferencial (transversal) é
\varepsilon_\theta=-0{,}004.
(Para pequenas deformações, a mudança percentual do diâmetro é igual à deformação normal na direção do diâmetro.)
  • Mantemos a mesma deformação de cisalhamento devido à torção entre as direções axial e circunferencial:
\gamma_{z\theta}=\gamma_{\max}=\frac{\pi}{6000}\approx 0{,}0005235988.
  • Assim temos um tensor de deformação bidimensional, nas direções (axial z, circunferencial \theta):
\begin{pmatrix} \varepsilon_z & \tfrac{1}{2}\gamma_{z\theta}\\[4pt] \tfrac{1}{2}\gamma_{z\theta} & \varepsilon_\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}012 & \tfrac{1}{2}\gamma\\[4pt] \tfrac{1}{2}\gamma & -0{,}004 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Como obter as deformações principais a partir desse tensor 2×2?
  • Para uma matriz simétrica
\begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12}\\[4pt] \varepsilon_{12} & \varepsilon_{22} \end{pmatrix},
as deformações principais são as raízes da equação característica e podem ser escritas como
\varepsilon_{1,2}=\frac{\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{\varepsilon_{11}-\varepsilon_{22}}{2}\right)^{2}+\varepsilon_{12}^{2}}.
  • No nosso caso:
\varepsilon_{11}=\varepsilon_z=0{,}012,\qquad \varepsilon_{22}=\varepsilon_\theta=-0{,}004,\qquad \varepsilon_{12}=\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{12000}\approx 0{,}0002617994.]

Passo 7

Calcular numericamente as deformações principais no caso combinado.
  • Primeiro a média:
\bar{\varepsilon}=\frac{\varepsilon_z+\varepsilon_\theta}{2}=\frac{0{,}012+(-0{,}004)}{2}=0{,}004.
  • Metade da diferença:
\Delta=\frac{\varepsilon_z-\varepsilon_\theta}{2}=\frac{0{,}012-(-0{,}004)}{2}=0{,}008.
  • Norma usada no radical:
R=\sqrt{\Delta^{2}+\left(\frac{\gamma}{2}\right)^{2}} =\sqrt{0{,}008^{2}+\left(0{,}0002617994\right)^{2}} \approx 0{,}008004279.
  • Logo as deformações principais são
\varepsilon_{1}=\bar{\varepsilon}+R\approx 0{,}004+0{,}008004279=0{,}012004279,
\varepsilon_{2}=\bar{\varepsilon}-R\approx 0{,}004-0{,}008004279=-0{,}004004279.
  • A maior deformação principal (tensional) é \varepsilon_{1}\approx 0{,}012004279, ou em porcentagem 1{,}2004279\%.

Passo 8

Interpretação breve e comparação entre A e B (motivacional rápido).
  • No caso A (somente torção) a maior deformação principal é muito pequena porque torção gera principalmente cisalhamento; a componente principal de tração é \gamma/2.
  • No caso B, já existia uma grande deformação axial ( 1{,}2\%); a torção só altera ligeiramente a maior deformação principal, elevando-a de 1{,}2\% para cerca de 1{,}20043\%. Ou seja, a contribuição da cisalhamento à maior deformação é muito pequena comparada ao alongamento axial.

Resposta

A. \varepsilon_{\max}=\dfrac{\gamma}{2}=\dfrac{\pi}{12000}\approx 0{,}0002617994 (≈ 0{,}02618\%).
B. \varepsilon_{\max}\approx 0{,}012004279 (≈ 1{,}20043\%).

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