Consider an aluminum single crystal under a stress state, \sigma_{x}=+75 \mathrm{psi}, \sigma_{y}=+ 25 \mathrm{psi}, \sigma_{z}=\tau_{y z}=\tau_{z x}=\tau_{x y}=0, where x=[100], y=[010], and z=[001]. What is the resolved shear stress, \gamma_{n d}, on the (111) plane and in the [10̄] direction?
Passo 1
O enunciado dá um estado de tensões e pede a tensão de cisalhamento resolvida (denotada \gamma_{nd}) na face (111) ao longo da direção [10\bar{1}]. Dados fornecidos:
\sigma_x=+75\\ \text{psi}.
\sigma_y=+25\\ \text{psi}.
\sigma_z=0\\ \text{psi}.
Todos os termos de cisalhamento fora da diagonal são nulos: \tau_{yz}=\tau_{zx}=\tau_{xy}=0.
Eixos x,y,z coincidem com as direções cristalográficas [100],[010],[001].
Observação importante (assunção): o enunciado escreveu [10\bar{ }]. Vou assumir que a direção pretendida é a típica direção de escorregamento no plano (111), ou seja [1\,0\,\overline{1}] (que realmente está contida no plano (111) porque o produto escalar com o normal é zero). Se a direção pretendida fosse outra, o valor mudaria.
O que é pedido: calcular a tensão de cisalhamento resolvida sobre o plano (111) na direção [1\,0\,\overline{1}].
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida):
A tensão de cisalhamento resolvida numa direção de escorregamento \mathbf{s} sobre um plano de normal \mathbf{n} é dada pelo produto escalar entre o vetor direção de escorregamento unitário e o vetor tração na superfície do plano:
\gamma_{nd}=\mathbf{s}\cdot\mathbf{t}
onde o vetor tração \mathbf{t} sobre o plano de normal \mathbf{n} é
Esta é a expressão exata em \text{psi}. Agora a aproximação numérica:
\frac{75}{\sqrt{6}}\approx 30{,}62\\ \text{psi}.
Passo 8
Interpretação rápida e checagem:
O valor positivo indica que a componente da tração ao longo da direção [1\,0\,\overline{1}] tem sentido concordante com o vetor \mathbf{s} escolhido; se se quisesse o módulo absoluto, faria-se |\gamma_{nd}|.
Relembre que trocando a direção por [\,\overline{1}\,0\,1] (o sentido oposto) o valor mudaria de sinal. A magnitude permanece a mesma.