Consider an aluminum single crystal under a stress state, \sigma_{x}=+75 \mathrm{psi}, \sigma_{y}=+ 25 \mathrm{psi}, \sigma_{z}=\tau_{y z}=\tau_{z x}=\tau_{x y}=0, where x=[100], y=[010], and z=[001]. What is the resolved shear stress, \gamma_{n d}, on the (111) plane and in the [10̄] direction?

Passo 1

O enunciado dá um estado de tensões e pede a tensão de cisalhamento resolvida (denotada \gamma_{nd}) na face (111) ao longo da direção [10\bar{1}]. Dados fornecidos:
  • \sigma_x=+75\\ \text{psi}.
  • \sigma_y=+25\\ \text{psi}.
  • \sigma_z=0\\ \text{psi}.
  • Todos os termos de cisalhamento fora da diagonal são nulos: \tau_{yz}=\tau_{zx}=\tau_{xy}=0.
  • Eixos x,y,z coincidem com as direções cristalográficas [100],[010],[001].
Observação importante (assunção): o enunciado escreveu [10\bar{ }]. Vou assumir que a direção pretendida é a típica direção de escorregamento no plano (111), ou seja [1\,0\,\overline{1}] (que realmente está contida no plano (111) porque o produto escalar com o normal é zero). Se a direção pretendida fosse outra, o valor mudaria.
O que é pedido: calcular a tensão de cisalhamento resolvida sobre o plano (111) na direção [1\,0\,\overline{1}].

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida):
  • A tensão de cisalhamento resolvida numa direção de escorregamento \mathbf{s} sobre um plano de normal \mathbf{n} é dada pelo produto escalar entre o vetor direção de escorregamento unitário e o vetor tração na superfície do plano:
\gamma_{nd}=\mathbf{s}\cdot\mathbf{t}
onde o vetor tração \mathbf{t} sobre o plano de normal \mathbf{n} é
\mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}.
  • Assim, em forma compacta:
\gamma_{nd}=\mathbf{s}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}.
Explicação das quantidades:
  • \boldsymbol{\sigma} é o tensor de tensões (matriz 3×3). Aqui é diagonal porque só há tensões principais não nulas.
  • \mathbf{n} é o vetor normal unitário ao plano (111).
  • \mathbf{s} é o vetor unitário na direção [1\,0\,\overline{1}] (direção de escorregamento).

Passo 3

Determinar o vetor normal unitário \mathbf{n} ao plano (111).
  • Um vetor normal não unitário é [1,1,1].
  • O comprimento (norma) desse vetor é \sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
  • Portanto o vetor unitário é
\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,\,1,\,1).

Passo 4

Determinar o vetor direção de escorregamento unitário \mathbf{s} para [1\,0\,\overline{1}].
  • Um vetor nessa direção é (1,\,0,\,-1).
  • A norma é \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
  • Logo o vetor unitário é
\mathbf{s}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,0,\,-1).

Passo 5

Escrever o tensor de tensões \boldsymbol{\sigma} na base x,y,z. Como só há componentes normais:
\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix} \sigma_x & 0 & 0\\[4pt] 0 & \sigma_y & 0\\[4pt] 0 & 0 & \sigma_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 75 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 25 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ \text{psi}.]

Passo 6

Calcular o vetor tração \mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}.
  • Primeiro multiplicando componente a componente (lembrar que \mathbf{n}=(1/\sqrt{3})(1,1,1)):
\mathbf{t}=\begin{pmatrix} 75 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 25 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}75\\[4pt]25\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular \gamma_{nd}=\mathbf{s}\cdot\mathbf{t}.
  • Substituindo \mathbf{s}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1) e \mathbf{t}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(75,25,0):
\gamma_{nd}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(75,25,0).
  • Fazer o produto escalar:
\gamma_{nd}=\frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{3}}\big(1\cdot75 + 0\cdot25 + (-1)\cdot0\big) =\frac{75}{\sqrt{6}}.
  • Esta é a expressão exata em \text{psi}. Agora a aproximação numérica:
\frac{75}{\sqrt{6}}\approx 30{,}62\\ \text{psi}.

Passo 8

Interpretação rápida e checagem:
  • O valor positivo indica que a componente da tração ao longo da direção [1\,0\,\overline{1}] tem sentido concordante com o vetor \mathbf{s} escolhido; se se quisesse o módulo absoluto, faria-se |\gamma_{nd}|.
  • Relembre que trocando a direção por [\,\overline{1}\,0\,1] (o sentido oposto) o valor mudaria de sinal. A magnitude permanece a mesma.

Resposta

\gamma_{nd}=\dfrac{75}{\sqrt{6}}\\ \text{psi}\approx 30{,}62\\ \text{psi}

Exercícios relacionados