A solid is deformed under plane-strain conditions
. The strains in the
plane are
, and
.
A. Sketch the Mohr’s strain circle diagram.
B. Find the magnitude of
and
.
C. What is the angle between the 1 and
axes?
D. What is the largest shear strain in the body? (Do not neglect the
direction.)
A. Sketch the Mohr’s strain circle diagram.
B. Find the magnitude of
C. What is the angle between the 1 and
D. What is the largest shear strain in the body? (Do not neglect the
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem ainda resolver nada).
Dados fornecidos:
-
-
-
(esta é a deformação de engenharia, ou seja, ) -
(condição de plane strain)
Perguntas:
A. Fazer o esboço do círculo de Mohr para deformações (ou seja, indicar centro, raio e pontos importantes que permitem desenhar o círculo).
B. Determinar e
(as deformações principais no plano).
C. Determinar o ângulo entre o eixo (principal) e o eixo
.
D. Determinar a maior deformação ao cisalhamento no corpo (considerando também a direção ).
A. Fazer o esboço do círculo de Mohr para deformações (ou seja, indicar centro, raio e pontos importantes que permitem desenhar o círculo).
B. Determinar
C. Determinar o ângulo entre o eixo
D. Determinar a maior deformação ao cisalhamento no corpo (considerando também a direção
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
- Para transformar deformações no plano, usamos a média e o raio do círculo de Mohr para deformações. Definir a média das deformações normais no plano:
Isto é o centro do círculo de Mohr no eixo horizontal (eixo das deformações normais).
- O termo que aparece combinado com a componente de cisalhamento na fórmula usa
, que é a componente tensorial de cisalhamento. A relação com a deformação de engenharia é:
(Importante: dentro da raiz do círculo aparece
, ou seja,
.)
- O raio do círculo (em termos de deformação normal no eixo horizontal e deformação de engenharia no eixo vertical dividida por 2) é
Geometricamente, o círculo de Mohr para deformações tem centro
e raio
. Os pontos correspondentes às faces normais
e
são
quando plotados com o eixo horizontal sendo
e o eixo vertical sendo
(atenção: muitos livros usam vertical
ou
— aqui usamos
).
- As deformações principais (no plano) são simplesmente os pontos horizontais do círculo:
Isto vem do fato de que nos pontos onde o eixo vertical vale zero (não há cisalhamento no plano principal), as abscissas da interseção com o eixo horizontal são
.
- O ângulo entre o eixo
e o eixo principal é dado pela relação (usando convenção de ângulo medido no espaço físico):
Explicação curta: isto vem da fórmula de transformação de cisalhamento para o plano rotacionado e da geometria do círculo de Mohr (o ângulo no círculo é o dobro do ângulo físico). Depois toma-se
.
- Para o máximo cisalhamento considerando as três direções (3D), as maiores deformações ao cisalhamento (engenharia) correspondem às maiores diferenças entre deformações principais:
Aqui
será incluída; como
, é preciso comparar diferenças com esse valor.
Passo 3
Cálculos numéricos passo a passo.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular metade da diferença:
- Calcular o raio
:
- Agora as deformações principais:
Arredondando de forma prática para prova:
e
.
Passo 4
Determinar o ângulo entre o eixo
e o eixo
.
Usar a fórmula
Logo
Conclusão: o eixo principal
está aproximadamente em
em relação ao eixo
(no sentido que torne
o valor maior; pode também adicionar
para a outra direção principal).
Passo 5
Construir/esboçar o círculo de Mohr (instruções claras para desenhar):
- Centro do círculo:
(no eixo horizontal). - Raio:
. - Pontos que devem estar no círculo (usados para traçar):
- Ponto correspondente à face normal a
: . - Ponto correspondente à face normal a
: .
- Ponto correspondente à face normal a
- Os pontos das deformações principais aparecem nas interseções com o eixo horizontal:
-
e .
-
- Assim o esboço: desenhar o eixo horizontal
, eixo vertical , marcar o centro em , traçar um círculo de raio passando pelos dois pontos indicados e pelos pontos principais na horizontal.
Passo 6
Maior deformação ao cisalhamento no corpo (considerando
):
As deformações principais em 3D são
,
e
.
Calcular as diferenças:
A maior diferença é
. Para deformação de engenharia ao cisalhamento máxima no corpo (a que causa maior deslizamento relativo), toma-se essa diferença; assim
Observação pedagógica: em 3D a maior deformação ao cisalhamento (engenharia) é a maior diferença entre deformações principais; em 2D apenas no plano a maior deformação ao cisalhamento valeria
.
Resposta
A: Centro do círculo
; raio
. Pontos para desenhar:
,
. Pontos principais:
e
.
B:
,
.
C:
(ângulo entre o eixo
e o eixo
).
D: Maior deformação ao cisalhamento no corpo
.