A solid is deformed under plane-strain conditions \left(\varepsilon_{z}=0\right). The strains in the x-y plane are \varepsilon_{x}=0.010, \varepsilon_{y}=0.005, and \gamma_{x y}=0.007.
A. Sketch the Mohr’s strain circle diagram.
B. Find the magnitude of \varepsilon_{1} and \varepsilon_{2}.
C. What is the angle between the 1 and x axes?
D. What is the largest shear strain in the body? (Do not neglect the z direction.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem ainda resolver nada).
Dados fornecidos:
  • \varepsilon_{x}=0{,}010
  • \varepsilon_{y}=0{,}005
  • \gamma_{xy}=0{,}007 (esta é a deformação de engenharia, ou seja, \gamma_{xy}=2\varepsilon_{xy})
  • \varepsilon_{z}=0 (condição de plane strain)
Perguntas:
A. Fazer o esboço do círculo de Mohr para deformações (ou seja, indicar centro, raio e pontos importantes que permitem desenhar o círculo).
B. Determinar \varepsilon_{1} e \varepsilon_{2} (as deformações principais no plano).
C. Determinar o ângulo entre o eixo 1 (principal) e o eixo x.
D. Determinar a maior deformação ao cisalhamento no corpo (considerando também a direção z).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
  1. Para transformar deformações no plano, usamos a média e o raio do círculo de Mohr para deformações. Definir a média das deformações normais no plano:
\bar{\varepsilon}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}.
Isto é o centro do círculo de Mohr no eixo horizontal (eixo das deformações normais).
  1. O termo que aparece combinado com a componente de cisalhamento na fórmula usa \varepsilon_{xy}, que é a componente tensorial de cisalhamento. A relação com a deformação de engenharia é:
\varepsilon_{xy}=\frac{\gamma_{xy}}{2}.
(Importante: dentro da raiz do círculo aparece \varepsilon_{xy}, ou seja, \gamma_{xy}/2.)
  1. O raio do círculo (em termos de deformação normal no eixo horizontal e deformação de engenharia no eixo vertical dividida por 2) é
R=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^{2}+\left(\varepsilon_{xy}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^{2}}.
Geometricamente, o círculo de Mohr para deformações tem centro \bar\varepsilon e raio R. Os pontos correspondentes às faces normais x e y são
(\varepsilon_x,\;\varepsilon_{xy})\quad\text{e}\quad(\varepsilon_y,\;-\varepsilon_{xy}),
quando plotados com o eixo horizontal sendo \varepsilon e o eixo vertical sendo \varepsilon_{xy} (atenção: muitos livros usam vertical \gamma/2 ou \varepsilon_{xy} — aqui usamos \varepsilon_{xy}=\gamma_{xy}/2).
  1. As deformações principais (no plano) são simplesmente os pontos horizontais do círculo:
\varepsilon_{1,2}=\bar{\varepsilon}\pm R.
Isto vem do fato de que nos pontos onde o eixo vertical vale zero (não há cisalhamento no plano principal), as abscissas da interseção com o eixo horizontal são \bar\varepsilon\pm R.
  1. O ângulo entre o eixo x e o eixo principal 1 é dado pela relação (usando convenção de ângulo \theta medido no espaço físico):
\tan(2\theta)=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}.
Explicação curta: isto vem da fórmula de transformação de cisalhamento para o plano rotacionado e da geometria do círculo de Mohr (o ângulo no círculo é o dobro do ângulo físico). Depois toma-se \theta=\tfrac{1}{2}\arctan(\cdot).
  1. Para o máximo cisalhamento considerando as três direções (3D), as maiores deformações ao cisalhamento (engenharia) correspondem às maiores diferenças entre deformações principais:
\gamma_{\max}=\max_{i,j}|\varepsilon_i-\varepsilon_j|.
Aqui \varepsilon_3=\varepsilon_z será incluída; como \varepsilon_z=0, é preciso comparar diferenças com esse valor.

Passo 3

Cálculos numéricos passo a passo.
  1. Calcular \bar{\varepsilon}:
\bar{\varepsilon}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}=\frac{0{,}010+0{,}005}{2}=0{,}0075.
  1. Calcular \varepsilon_{xy}=\gamma_{xy}/2:
\varepsilon_{xy}=\frac{0{,}007}{2}=0{,}0035.
  1. Calcular metade da diferença:
\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}=\frac{0{,}010-0{,}005}{2}=0{,}0025.
  1. Calcular o raio R:
R=\sqrt{(0{,}0025)^{2}+(0{,}0035)^{2}}=\sqrt{6{,}25\times10^{-6}+12{,}25\times10^{-6}}=\sqrt{18{,}5\times10^{-6}}.
R=\sqrt{1{,}85\times10^{-5}}\approx0{,}004301163.
  1. Agora as deformações principais:
\varepsilon_{1}=\bar{\varepsilon}+R=0{,}0075+0{,}004301163\approx0{,}011801163,
\varepsilon_{2}=\bar{\varepsilon}-R=0{,}0075-0{,}004301163\approx0{,}003198837.
Arredondando de forma prática para prova: \varepsilon_{1}\approx0{,}01180 e \varepsilon_{2}\approx0{,}003199.

Passo 4

Determinar o ângulo entre o eixo 1 e o eixo x.
Usar a fórmula
\tan(2\theta)=\frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}=\frac{0{,}007}{0{,}005}=1{,}4.
Logo
2\theta=\arctan(1{,}4)\approx54{,}462322^\circ,
\theta=\frac{1}{2}\times54{,}462322^\circ\approx27{,}231161^\circ.
Conclusão: o eixo principal 1 está aproximadamente em \theta\approx27{,}23^\circ em relação ao eixo x (no sentido que torne \varepsilon_1 o valor maior; pode também adicionar 90^\circ para a outra direção principal).

Passo 5

Construir/esboçar o círculo de Mohr (instruções claras para desenhar):
  • Centro do círculo: \bar{\varepsilon}=0{,}0075 (no eixo horizontal).
  • Raio: R\approx0{,}004301163.
  • Pontos que devem estar no círculo (usados para traçar):
    • Ponto correspondente à face normal a x: (\varepsilon_x,\;\varepsilon_{xy})=(0{,}010,\;0{,}0035).
    • Ponto correspondente à face normal a y: (\varepsilon_y,\;-\varepsilon_{xy})=(0{,}005,\;-0{,}0035).
  • Os pontos das deformações principais aparecem nas interseções com o eixo horizontal:
    • (\varepsilon_1,0)\approx(0{,}011801,\,0) e (\varepsilon_2,0)\approx(0{,}003199,\,0).
  • Assim o esboço: desenhar o eixo horizontal \varepsilon, eixo vertical \varepsilon_{xy}, marcar o centro em 0{,}0075, traçar um círculo de raio 0{,}004301 passando pelos dois pontos indicados e pelos pontos principais na horizontal.

Passo 6

Maior deformação ao cisalhamento no corpo (considerando z):
As deformações principais em 3D são \varepsilon_1, \varepsilon_2 e \varepsilon_3=\varepsilon_z=0.
Calcular as diferenças:
\varepsilon_1-\varepsilon_2\approx0{,}011801163-0{,}003198837=0{,}008602326,
\varepsilon_1-\varepsilon_3\approx0{,}011801163-0=0{,}011801163,
\varepsilon_2-\varepsilon_3\approx0{,}003198837-0=0{,}003198837.
A maior diferença é \varepsilon_1-\varepsilon_3\approx0{,}011801163. Para deformação de engenharia ao cisalhamento máxima no corpo (a que causa maior deslizamento relativo), toma-se essa diferença; assim
\gamma_{\max}=\varepsilon_1-\varepsilon_3\approx0{,}011801163.
Observação pedagógica: em 3D a maior deformação ao cisalhamento (engenharia) é a maior diferença entre deformações principais; em 2D apenas no plano a maior deformação ao cisalhamento valeria \varepsilon_1-\varepsilon_2.

Resposta

A: Centro do círculo \bar{\varepsilon}=0{,}0075; raio R\approx0{,}004301163. Pontos para desenhar: (\varepsilon_x,\varepsilon_{xy})=(0{,}010,\;0{,}0035), (\varepsilon_y,-\varepsilon_{xy})=(0{,}005,\;-0{,}0035). Pontos principais: (\varepsilon_1,0)\approx(0{,}011801,\;0) e (\varepsilon_2,0)\approx(0{,}003199,\;0).
B: \varepsilon_{1}\approx0{,}011801, \varepsilon_{2}\approx0{,}003199.
C: \theta\approx27{,}231^\circ (ângulo entre o eixo 1 e o eixo x).
D: Maior deformação ao cisalhamento no corpo \gamma_{\max}\approx0{,}011801.

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