Consider a wave-packet for a free particle in one dimension. In
it satisfies the minimum uncertainty relation and
. Compute
given a value for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um pacote de ondas de uma partícula livre em uma dimensão. No tempo $ t=0 $, esse pacote de ondas satisfaz a relação de incerteza mínima, ou seja, a incerteza na posição e no momento são tão pequenas quanto a física permite. Além disso, sabemos que as expectativas de posição $ \langle \hat{X} \rangle(0) $ e momento $ \langle \hat{P}_x \rangle(0) $ são zero no início. Nosso objetivo é encontrar como a incerteza na posição $ \langle (\Delta \hat{X})^2 \rangle(t) $ evolui com o tempo, dado o valor inicial $ \langle (\Delta \hat{X})^2 \rangle(0) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a incerteza na posição muda ao longo do tempo para uma partícula livre, usando conceitos da mecânica quântica, especialmente a relação de incerteza de Heisenberg e a evolução temporal dos operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a relação de incerteza de Heisenberg para posição e momento:
Como o problema menciona que no tempo $ t=0 $ o sistema satisfaz a relação de incerteza mínima, podemos escrever:
Isso significa que as incertezas em posição e momento estão no limite inferior permitido pela mecânica quântica no início.
Passo 3
Agora, vamos considerar a evolução temporal da incerteza na posição para uma partícula livre. Em mecânica quântica, para uma partícula livre (sem potenciais), a incerteza na posição evolui da seguinte forma:
Aqui, $ m $ é a massa da partícula, e $ \langle (\Delta \hat{P})^2 \rangle(0) $ é a incerteza no momento no tempo inicial.
Passo 4
Sabemos que no tempo $ t=0 $, o sistema está na condição de incerteza mínima:
Podemos resolver isso para $ \langle (\Delta \hat{P})^2 \rangle(0) $:
Substituindo esse resultado na equação da Passo 3, temos:
Passo 5
Então, juntando tudo, a incerteza na posição em qualquer tempo $ t $ é dada por:
Resposta
A incerteza na posição no tempo $ t $ é: