Consider a wave-packet for a free particle in one dimension. In t=0 it satisfies the minimum uncertainty relation and lang<=Xrang<=(0)=lang<=Pxrang<=(0)=0. Compute lang<=(De given a value for lang<=(De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um pacote de ondas de uma partícula livre em uma dimensão. No tempo $ t=0 $, esse pacote de ondas satisfaz a relação de incerteza mínima, ou seja, a incerteza na posição e no momento são tão pequenas quanto a física permite. Além disso, sabemos que as expectativas de posição $ \langle \hat{X} \rangle(0) $ e momento $ \langle \hat{P}_x \rangle(0) $ são zero no início. Nosso objetivo é encontrar como a incerteza na posição $ \langle (\Delta \hat{X})^2 \rangle(t) $ evolui com o tempo, dado o valor inicial $ \langle (\Delta \hat{X})^2 \rangle(0) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a incerteza na posição muda ao longo do tempo para uma partícula livre, usando conceitos da mecânica quântica, especialmente a relação de incerteza de Heisenberg e a evolução temporal dos operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação de incerteza de Heisenberg para posição e momento:
Como o problema menciona que no tempo $ t=0 $ o sistema satisfaz a relação de incerteza mínima, podemos escrever:
t=0
Isso significa que as incertezas em posição e momento estão no limite inferior permitido pela mecânica quântica no início.

Passo 3

Agora, vamos considerar a evolução temporal da incerteza na posição para uma partícula livre. Em mecânica quântica, para uma partícula livre (sem potenciais), a incerteza na posição evolui da seguinte forma:
lang<= (De
Aqui, $ m $ é a massa da partícula, e $ \langle (\Delta \hat{P})^2 \rangle(0) $ é a incerteza no momento no tempo inicial.

Passo 4

Sabemos que no tempo $ t=0 $, o sistema está na condição de incerteza mínima:
t=0
Podemos resolver isso para $ \langle (\Delta \hat{P})^2 \rangle(0) $:
De
Substituindo esse resultado na equação da Passo 3, temos:
lang<= (De

Passo 5

Então, juntando tudo, a incerteza na posição em qualquer tempo $ t $ é dada por:
t

Resposta

A incerteza na posição no tempo $ t $ é:
t

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