Prove the following relation associated to the time evolution of a product of operators:
Passo 1
Então, a gente tem que provar uma relação que descreve como um produto de operadores muda com o tempo. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, mais especificamente a evolução temporal de operadores. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto para derivadas e a equação de Heisenberg, que nos diz como os operadores evoluem no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a média de um produto de operadores,
, é uma expectativa matemática que nos dá o valor esperado desse produto no estado quântico considerado. Nosso objetivo é derivar essa expectativa em relação ao tempo, ou seja, calcular
.
Passo 3
Para derivar
em relação ao tempo, vamos usar a regra do produto para derivadas, que nos diz que a derivada de um produto é a derivada do primeiro fator vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo. Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, precisamos expressar as derivadas dos operadores
e
. Na mecânica quântica, a evolução temporal dos operadores é dada pela equação de Heisenberg:
onde
é um operador qualquer,
é o hamiltoniano do sistema,
é a unidade imaginária, e
é a constante de Planck reduzida. O colchete
representa o comutador entre
e
.
Passo 5
Aplicando a equação de Heisenberg aos operadores
e
, temos:
Passo 6
Substituindo essas expressões na derivada de
, ficamos com:
Passo 7
Agora, vamos distribuir os termos dentro das expectativas:
Resposta
Portanto, provamos que: