Prove the following relation associated to the time evolution of a product of operators:
dd tlang<=A Brang<==lang<=partial Apartial t Brang<=+lang<=A partial Bpartial trang<=-ihbarlang<=[A, H] Brang<=-ihbarlang<=A[B, H]rang<=

Passo 1

Então, a gente tem que provar uma relação que descreve como um produto de operadores muda com o tempo. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, mais especificamente a evolução temporal de operadores. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto para derivadas e a equação de Heisenberg, que nos diz como os operadores evoluem no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a média de um produto de operadores, lang<= A B rang<=, é uma expectativa matemática que nos dá o valor esperado desse produto no estado quântico considerado. Nosso objetivo é derivar essa expectativa em relação ao tempo, ou seja, calcular ddtlang<= A B rang<=.

Passo 3

Para derivar lang<= A B rang<= em relação ao tempo, vamos usar a regra do produto para derivadas, que nos diz que a derivada de um produto é a derivada do primeiro fator vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo. Aplicando isso, temos:
ddtlang<= A B rang<= = lang<= d Adt B rang<= + lang<= A d Bdt rang<=

Passo 4

Agora, precisamos expressar as derivadas dos operadores d Adt e d Bdt. Na mecânica quântica, a evolução temporal dos operadores é dada pela equação de Heisenberg:
d Odt = partial Opartial t - ihbar [O, H]
onde O é um operador qualquer, H é o hamiltoniano do sistema, i é a unidade imaginária, e hbar é a constante de Planck reduzida. O colchete [O, H] representa o comutador entre O e H.

Passo 5

Aplicando a equação de Heisenberg aos operadores A e B, temos:
d Adt = partial Apartial t - ihbar [A, H]
d Bdt = partial Bpartial t - ihbar [B, H]

Passo 6

Substituindo essas expressões na derivada de lang<= A B rang<=, ficamos com:
ddtlang<= A B rang<= = lang<= ( partial Apartial t - ihbar [A, H] ) B rang<= + lang<= A ( partial Bpartial t - ihbar [B, H] ) rang<=

Passo 7

Agora, vamos distribuir os termos dentro das expectativas:
ddtlang<= A B rang<= = lang<= partial Apartial t B rang<= - ihbar lang<= [A, H] B rang<= + lang<= A partial Bpartial t rang<= - ihbar lang<= A [B, H] rang<=

Resposta

Portanto, provamos que:
dd tlang<=A Brang<==lang<=partial Apartial t Brang<=+lang<=A partial Bpartial trang<=-ihbarlang<=[A, H] Brang<=-ihbarlang<=A[B, H]rang<=

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