1. Considera a função f(x) real de variável real definida por: f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+3}
    a. Determina o domínio da função.
    b. Determina os valores de x para os quais f(x) \leq 0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 3}
e pede (a) o domínio e (b) os valores de x tais que f(x)\leq0. O conteúdo envolvido é identificação do domínio de uma função racional (denominador não nulo) e estudo de sinal de uma fração.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja diferente de zero. Logo,
x + 3 \neq 0 x \neq -3 Portanto o domínio é
(-\infty,-3)\cup(-3,\infty).

Passo 3

Para resolver a inequação
\frac{x^2 - 4}{x + 3} \leq 0
fatoramos o numerador:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).
Os pontos críticos são as raízes do numerador x=-2 e x=2 e a singularidade x=-3.

Passo 4

Definimos os intervalos segundo esses pontos: (-\infty,-3), (-3,-2), (-2,2) e (2,\infty). Em cada intervalo, determinamos o sinal de (x-2)(x+2) e de (x+3):
  • Em x<-3 (por exemplo x=-4): numerador (-) \cdot (-)=+, denominador -, logo f(x)<0.
  • Em -3<x<-2 (por exemplo x=-2{,}5): numerador (-) \cdot (-)=+, denominador +, logo f(x)>0.
  • Em -2<x<2 (por exemplo x=0): numerador (-) \cdot (+)=-, denominador +, logo f(x)<0.
  • Em x>2 (por exemplo x=3): numerador (+) \cdot (+)=+, denominador +, logo f(x)>0.

Passo 5

A inequação \frac{x^2-4}{x+3}\le0 admite:
  • as regiões onde o quociente é negativo: (-\infty,-3) e (-2,2);
  • os zeros quando o numerador anula-se e o denominador é não nulo: x=-2 e x=2.
    O ponto x=-3 está excluído do domínio.

Resposta

a. O domínio é
(-\infty,-3)\cup(-3,\infty).
b. A solução de f(x)\le0 é
(-\infty,-3)\;\cup\;[-2,2].

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