Resolva os seguintes sistemas de inequações:
\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}+x-4}{x}<1 \\\ x^{2}-64 \leq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema de inequações
\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}+x-4}{x}<1,\\[6pt] x^{2}-64\leq 0. \end{cases}
O conteúdo envolve resolução de inequação racional e de inequação do segundo grau. Vamos resolver cada uma separadamente e depois intersectar os resultados, lembrando que em qualquer inequação racional devemos observar o domínio ( x\neq 0 na primeira).]

Passo 2

Resolvendo a segunda inequação
x^{2}-64\leq 0
é uma parábola que fica abaixo de zero entre as raízes x=-8 e x=8. Logo,
-8 \le x \le 8.

Passo 3

Agora a primeira inequação
\frac{x^{2}+x-4}{x}<1.
Primeiro trazemos tudo para um único quociente:
\frac{x^{2}+x-4}{x}-1<0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}+x-4 - x}{x}<0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}-4}{x}<0.

Passo 4

Fatoramos o numerador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
então a inequação fica
\frac{(x-2)(x+2)}{x}<0.
Os pontos críticos são x=-2, x=0 e x=2. Em cada intervalo, o sinal de \tfrac{(x-2)(x+2)}{x} é dado por:
- Para x<-2: numerador positivo, denominador negativo \Rightarrow expressão negativa. (satisfaz)
- Para -2<x<0: numerador negativo, denominador negativo \Rightarrow expressão positiva. (não satisfaz)
- Para 0<x<2: numerador negativo, denominador positivo \Rightarrow expressão negativa. (satisfaz)
- Para x>2: numerador positivo, denominador positivo \Rightarrow expressão positiva. (não satisfaz)
Além disso, em x=-2 ou x=2 o numerador é zero, mas a desigualdade é estrita, então excluímos esses pontos. E claro x\neq 0. Assim, a solução da primeira inequação é
(-\infty,-2)\,\cup\,(0,2).

Passo 5

Agora intersectamos as soluções das duas inequações:
(-\infty,-2)\,\cup\,(0,2) \quad\cap\quad [-8,8] \;=\; [-8,-2)\,\cup\,(0,2).

Resposta

[-8,-2)\,\cup\,(0,2).

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