- Considera a sucessão
a. Mostre que a sucessão é monótona.
b. Analisa a convergência.
a. Mostre que a sucessão é monótona.
b. Analisa a convergência.
Passo 1
O enunciado nos dá a sucessão
e pede dois estudos: (a) monotonicidade; (b) convergência. Vamos usar (i) o critério da diferença
para monotonicidade e (ii) cálculo de limite quando
.
Passo 2
Calculamos a diferença
Colocando sob um denominador comum
, o numerador torna-se
Expandindo cada parte:
Subtraindo, o numerador fica
Logo
Passo 3
Para
, temos
e, portanto,
. Como o denominador
é sempre positivo, concluímos
Isso mostra que a partir de
a sucessão é estritamente decrescente (monótona decrescente).
Passo 4
Para o estudo de convergência, observamos o comportamento assintótico: o grau do numerador é 1 e o do denominador é 2. Logo
Resposta
(a) A sucessão é monótona decrescente para
.
(b) A sucessão converge e
(b) A sucessão converge e