1. Considera a sucessão a_{n}=\frac{2 n-1}{n^{2}+2}
    a. Mostre que a sucessão é monótona.
    b. Analisa a convergência.

Passo 1

O enunciado nos dá a sucessão
a_{n} = \frac{2n - 1}{n^{2} + 2}
e pede dois estudos: (a) monotonicidade; (b) convergência. Vamos usar (i) o critério da diferença a_{n+1}-a_{n} para monotonicidade e (ii) cálculo de limite quando n \to \infty.

Passo 2

Calculamos a diferença
a_{n+1} - a_{n} = \frac{2(n+1)-1}{(n+1)^{2}+2} \;-\;\frac{2n-1}{n^{2}+2} = \frac{2n+1}{n^{2}+2n+3} \;-\;\frac{2n-1}{n^{2}+2}.
Colocando sob um denominador comum (n^{2}+2n+3)(n^{2}+2), o numerador torna-se
(2n+1)(n^{2}+2)\;-\;(2n-1)(n^{2}+2n+3).
Expandindo cada parte:
(2n+1)(n^{2}+2)=2n^{3}+n^{2}+4n+2,
(2n-1)(n^{2}+2n+3)=2n^{3}+3n^{2}+4n-3.
Subtraindo, o numerador fica
\bigl(2n^{3}+n^{2}+4n+2\bigr)\;-\;\bigl(2n^{3}+3n^{2}+4n-3\bigr) =5 - 2n^{2}.
Logo
a_{n+1}-a_{n} =\frac{5 - 2n^{2}}{(n^{2}+2n+3)(n^{2}+2)}.

Passo 3

Para n\ge2, temos 2n^{2}\ge8 e, portanto, 5-2n^{2}\le -3<0. Como o denominador (n^{2}+2n+3)(n^{2}+2) é sempre positivo, concluímos
a_{n+1}-a_{n}<0 \quad\text{para todo }n\ge2.
Isso mostra que a partir de n=2 a sucessão é estritamente decrescente (monótona decrescente).

Passo 4

Para o estudo de convergência, observamos o comportamento assintótico: o grau do numerador é 1 e o do denominador é 2. Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{n^{2}+2} =0.

Resposta

(a) A sucessão é monótona decrescente para n\ge2.
(b) A sucessão converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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