1. Analisa a monotonia da sucessão: a_{n}=\frac{5 n+3}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a sucessão
a_{n} = \frac{5n + 3}{2n + 1}
e pede para analisar sua monotonia. Para isso, vamos calcular a diferença entre termos consecutivos, \Delta_n = a_{n+1} - a_{n},
e verificar o sinal de \Delta_n.

Passo 2

Primeiro escrevemos
a_{n+1} = \frac{5(n+1) + 3}{2(n+1) + 1} = \frac{5n + 8}{2n + 3}
e então
\Delta_n = a_{n+1} - a_{n} = \frac{5n + 8}{2n + 3} - \frac{5n + 3}{2n + 1}.

Passo 3

Colocando em denominador comum (2n+3)(2n+1), temos
\Delta_n = \frac{(5n+8)(2n+1) \;-\;(5n+3)(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}.
Calculando os numeradores:
(5n+8)(2n+1) = 10n^2 + 21n + 8, \quad (5n+3)(2n+3) = 10n^2 + 21n + 9,
logo
\Delta_n = \frac{10n^2 + 21n + 8 \;-\;(10n^2 + 21n + 9)}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{-1}{(2n+3)(2n+1)}.

Passo 4

Para todo n\in\mathbb{N}, o denominador (2n+3)(2n+1) é positivo, de modo que \Delta_n = -1/(\text{positivo}) < 0.
Portanto, a_{n+1} < a_{n} para todo n, ou seja, a sucessão é estritamente decrescente.

Resposta

A sucessão \displaystyle a_{n}=\frac{5n+3}{2n+1} é estritamente decrescente.

Exercícios relacionados