Considera a sucessão de termo geral:
Verifica se a sucessão é limitada.
Verifica se a sucessão é limitada.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pergunta se ela é limitada. O conteúdo envolve análise de sequência racional e manipulação algébrica para encontrar limites superior e inferior. Vamos (i) reescrever
de forma a evidenciar seu comportamento em relação a uma constante e (ii) extrair cotas.
Passo 2
Reescrevendo a fração de modo a comparar com 2:
Logo,
Passo 3
Note que, para todo
,
. Assim o termo subtraído
é positivo e decrescente em
. Consequentemente
Além disso, para
temos
, então
isto é,
Passo 4
De (i) e (ii) segue que, para todo
,
Portanto a sequência é limitada superiormente por
e inferiormente por
.
Resposta
A sequência
é limitada, pois