Considera a sucessão de termo geral: x_{n}=\frac{2 n-\frac{1}{3}}{n+\frac{1}{4}}
Verifica se a sucessão é limitada.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
x_{n} = \frac{2n - \tfrac13}{\,n + \tfrac14\,}
e pergunta se ela é limitada. O conteúdo envolve análise de sequência racional e manipulação algébrica para encontrar limites superior e inferior. Vamos (i) reescrever x_n de forma a evidenciar seu comportamento em relação a uma constante e (ii) extrair cotas.

Passo 2

Reescrevendo a fração de modo a comparar com 2:
2\bigl(n+\tfrac14\bigr)=2n+\tfrac12,
2n-\tfrac13 = 2\bigl(n+\tfrac14\bigr)\;-\;\Bigl(\tfrac12+\tfrac13\Bigr) =2\bigl(n+\tfrac14\bigr)\;-\;\tfrac56.
Logo,
x_n = \frac{2n-\tfrac13}{\,n+\tfrac14\,} = \frac{2\bigl(n+\tfrac14\bigr)-\tfrac56}{\,n+\tfrac14\,} =2 \;-\;\frac{\tfrac56}{\,n+\tfrac14\,}.

Passo 3

Note que, para todo n\in\mathbb{N}, n+\tfrac14>0. Assim o termo subtraído
\frac{\tfrac56}{\,n+\tfrac14\,}
é positivo e decrescente em n. Consequentemente
x_n < 2\quad\forall n.
Além disso, para n\ge1 temos n+\tfrac14\ge\tfrac54, então
0<\frac{\tfrac56}{\,n+\tfrac14\,}\le\frac{\tfrac56}{\tfrac54} =\frac{5/6}{5/4}=\frac{2}{3},
isto é,
x_n = 2 - \frac{\tfrac56}{\,n+\tfrac14\,}\ge 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.

Passo 4

De (i) e (ii) segue que, para todo n\ge1,
\frac{4}{3} \le x_n < 2.
Portanto a sequência é limitada superiormente por 2 e inferiormente por \tfrac{4}{3}.

Resposta

A sequência \displaystyle x_{n}=\frac{2n-\tfrac13}{n+\tfrac14} é limitada, pois
\frac{4}{3}\le x_n<2\quad\forall n\in\mathbb{N}.

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