a) Normalize cada função de onda para que a probabilidade inteira de achar o objeto quântico ao longo do eixo x seja igual a 1 .
[3 pontos]
b) Determine as funções de onda correspondentes \tilde{\psi}_{1}(p) e \tilde{\psi}_{2}(p) no espaço dos momentos. Use a transformação de Fourier que derivamos nas aulas.
[6 pontos]
c) Faça gráficos das funções de onda nos espaços das posições e dos momentos para a=\alpha=1. No espaço dos momentos, pode fazer os gráficos em termos de k=p / \hbar. Sejam \Delta x(\Delta k) as larguras das funções de onda no espaço das posições (dos momentos). São as distâncias entre os pontos centrais x=0(k=0) e os pontos onde os valores das funções diminuíram a 1 / \mathrm{e} (com o número de Euler e) dos valores centrais. A partir dos gráficos, determine valores aproximados das larguras das funções de onda. Verifique a validade da relação de incerteza de Heisenberg,
[5 pontos]
\Delta x \Delta p \gtrsim \hbar
ou analogamente
\Delta x \Delta k \gtrsim 1 .
Passo 1
O enunciado dá duas funções de onda no espaço das posições e pede três coisas separadas:
(a) Normalizar cada função de onda para que a probabilidade total seja 1. As funções dadas são
(b) Determinar as transformadas de Fourier (funções de onda no espaço dos momentos) \tilde\psi_{1}(p) e \tilde\psi_{2}(p), usando a transformação de Fourier usada nas aulas.
(c) Para a=\alpha=1: (i) fazer (ou descrever) os gráficos em x e em p (podendo usar k=p/\hbar no espaço dos momentos); (ii) a partir dos gráficos determinar as larguras \Delta x e \Delta k definidas como a distância do centro até o ponto onde a função caiu para 1/e do valor central; (iii) verificar numericamente a relação de incerteza \Delta x\,\Delta p \gtrsim \hbar ou \Delta x\,\Delta k \gtrsim 1.
Informações dadas que vamos usar explicitamente: os fórmulas das \psi_{1} e \psi_{2}, os parâmetros a>0 e \alpha>0, e que no espaço dos momentos podemos trabalhar em termos de p ou de k=p/\hbar.]
Passo 2
(a) Normalização — ideia e fórmula geral.
Interpretação: a probabilidade total de encontrar a partícula em toda a reta deve ser 1, isto é
(A prova padrão: calcular I=\int e^{-\beta x^{2}}dx, então I^{2}=\int\int e^{-\beta(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy e passar para coordenadas polares; aqui vou usar o resultado sem re-demonstração longa.)
(b) Convenção de Fourier que usarei (a da aula): explicação e significado.
Vou usar a transformação de Fourier em variáveis p (momento) conforme a convenção quântica comum:
\tilde\psi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i p x/\hbar}\,\psi(x)\,dx.
Aqui p é o momento, \hbar é a constante de Planck reduzida, e a normalização 1/\sqrt{2\pi\hbar} garante que tanto \psi(x) quanto \tilde\psi(p) sejam normalizadas com a mesma unidade (ou seja, \int|\tilde\psi(p)|^{2}dp=1).
Para gráficos em termos de k=p/\hbar podemos usar a transformada
\tilde\psi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i k x}\,\psi(x)\,dx,
e a relação entre as duas é \tilde\psi(p)=\hbar^{1/2}\,\tilde\psi(k) ou mais precisamente \tilde\psi(p)=\frac{1}{\sqrt{\hbar}}\tilde\psi(k) dependendo da convenção — aqui ficará claro caso a caso.
Passo 6
(b) Transformada de \psi_{1}. Cálculo passo a passo.
\tilde\psi_{1}(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-a}^{a} e^{-i p x/\hbar}\,\frac{1}{\sqrt{2a}}\,dx.
Tire constantes para fora da integral:
\tilde\psi_{1}(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2a}}\int_{-a}^{a} e^{-i p x/\hbar}\,dx.
A integral é uma integral simples de exponencial:
\int_{-a}^{a} e^{-i p x/\hbar}\,dx = \left[\frac{e^{-i p x/\hbar}}{-i p/\hbar}\right]_{-a}^{a} = \frac{\hbar}{-i p}\big(e^{-i p a/\hbar}-e^{i p a/\hbar}\big) = \frac{2\hbar}{p}\sin\!\big(\tfrac{p a}{\hbar}\big).
Simplificando o fator numérico \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2a}}\cdot 2\hbar = \frac{2\hbar}{\sqrt{4\pi a\hbar}}=\frac{1}{\sqrt{\pi a\hbar}}\hbar — isto leva à forma mais compacta abaixo. É conveniente usar k=p/\hbar. Com k:=p/\hbar obtemos a forma limpa
Gráfico: gaussiana em k com pico em k=0 e largura proporcional a 2 (ver abaixo).
Determinação das larguras \Delta x e \Delta k seguindo a definição do enunciado (ponto central até onde a função caiu para 1/e do valor central).
Para \psi_{1} (retângulo, a=1):
Valor central em x=0 é 1/\sqrt{2}.
Dentro do intervalo [-1,1] a função é constante; em x=1 ela salta para 0. O valor 1/e do central é (1/\sqrt{2})\cdot e^{-1}\approx 0{,}3679\cdot 0{,}7071\approx 0{,}260. A função reta nunca atinge esse valor dentro do intervalo; ela só passa de 1/\sqrt{2} para 0 no limite x=1. Pelo critério do enunciado, o primeiro ponto onde o valor da função se torna \le 1/e do central é justamente x=1. Então
\Delta x(\psi_{1}) = 1.
Agora a largura em k: função \tilde\psi_{1}(k)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\dfrac{\sin k}{k}. O valor central é \tilde\psi_{1}(0)=1/\sqrt{\pi}. Queremos o menor k>0 tal que
e consequentemente \Delta x\,\Delta p=\hbar\Delta x\,\Delta k\approx 2\hbar \gtrsim \hbar. Portanto a relação de incerteza é satisfeita.]
Passo 9
(c) Observações finais sobre os gráficos e sobre os resultados:
Como desenhar rapidamente (se for fazer à mão ou em software):
\psi_{1}(x): retângulo de altura 1/\sqrt{2} entre -1 e 1.
\psi_{2}(x): gaussiana com pico \approx 0{,}893 em x=0, caindo para 1/e do pico em x=\pm 1.
\tilde\psi_{1}(k): sinc (1/\sqrt{\pi})\sin k/k com primeiro zero em k=\pi e decaimento oscilatório.
\tilde\psi_{2}(k): gaussiana em k com desvio característico 2 (ponto 1/e em k=\pm 2).
Comentário intuitivo: o retângulo em x tem largura compacta mas transformada tem lobos largos (sinc), enquanto a gaussiana é auto-similar: gaussiana em x vira gaussiana em k. Ambos satisfazem \Delta x\,\Delta k\gtrsim 1 conforme a definição de largura usada (1/e do pico). Note que a definição de largura aqui é diferente do desvio padrão usual; se usássemos desvios padrão a gaussiana atinge o limite mínimo da desigualdade de Heisenberg (\Delta x\,\Delta p=\hbar/2), mas com a definição 1/e os números são diferentes (aqui deu 2 para a gaussiana em k).