a) Imagine que um elétron seja emitido de uma fonte e propague por 1 s antes de ser detectado com a energia cinética E_{\text {cin }}=1 \mathrm{eV}. Este valor da energia é confiável ou pode ter incertezas comparavelmente grandes?
b) Imagine que um elétron seja observado 10^{-18} \mathrm{~s} depois de ser criado e a energia medida seja E_{\text {cin }}=10 \mathrm{eV}. Este valor da energia é bem definida?
c) Caso possa responder a (a) ou/e (b) de forma afirmativa, qual é o momento p do elétron? Neste caso, calcule também a freqüência angular \omega, a freqüência \nu, o número de onda k e o comprimento de onda \lambda da sua amplitude de probabilidade.

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, assim a gente não se perde no meio do desespero (tô contigo). Dados e perguntas:
  • (a) Um elétron é emitido e propaga por \,1\\ \mathrm{s}\, antes de ser detectado com energia cinética \,E_{\text{cin}}=1\\ \mathrm{eV}. Pergunta: esse valor de energia é confiável (isto é, bem definido) ou pode ter incertezas comparáveis?
  • (b) Um elétron é observado \,10^{-18}\\ \mathrm{s}\, após ser criado, e a energia medida é \,E_{\text{cin}}=10\\ \mathrm{eV}. Pergunta: essa energia é bem definida?
  • Se (a) e/ou (b) puderem ser respondidos afirmativamente (energia bem definida), calcular o momento p do elétron e, a partir disso, a frequência angular \omega, a frequência \nu, o número de onda k e o comprimento de onda \lambda da amplitude de probabilidade.
Todos os valores numéricos que vou usar: massa do elétron \,m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}, constante de Planck \,h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}, constante reduzida \,\hbar=\dfrac{h}{2\pi}=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s} e \,1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Princípio da incerteza tempo-energia (versão usada aqui)
  • Fórmula prática (estimativa): \Delta E\,\Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2}.
Expliquei as variáveis: \Delta E é a incerteza típica na energia, \Delta t é o intervalo de tempo durante o qual o estado foi preparado/observado, e \hbar é a constante reduzida. Essa relação nos dá uma cota inferior para a incerteza em energia quando temos um tempo de vida/observação \Delta t. Não é uma igualdade exata sempre, mas serve como estimativa para saber se a energia pode ser considerada bem definida.
Vou usar essa fórmula para estimar \Delta E em (a) e (b).

Passo 3

Cálculo de \Delta E para o caso (a): \Delta t=1\\ \mathrm{s}.
Aplicando a fórmula,
\Delta E \gtrsim \frac{\hbar}{2\Delta t}=\frac{1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}}{2\cdot 1\\ \mathrm{s}}=5{,}272859085\times10^{-35}\\ \mathrm{J}.
Converter para electronvolts:
\Delta E \gtrsim \frac{5{,}272859085\times10^{-35}\\ \mathrm{J}}{1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} \approx 3{,}29\times10^{-16}\\ \mathrm{eV}.
Interpretação: a incerteza mínima é \sim 3{,}3\times10^{-16}\\ \mathrm{eV}, ou seja, ridiculamente pequena comparada a \,1\\ \mathrm{eV}. Portanto a energia \,E_{\text{cin}}=1\\ \mathrm{eV} pode ser considerada extremamente bem definida neste caso (incerteza desprezível).

Passo 4

Cálculo de \Delta E para o caso (b): \Delta t=10^{-18}\\ \mathrm{s}.
Aplicando a fórmula,
\Delta E \gtrsim \frac{\hbar}{2\Delta t}=\frac{1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}}{2\cdot 10^{-18}\\ \mathrm{s}}=5{,}272859085\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Converter para electronvolts:
\Delta E \gtrsim \frac{5{,}272859085\times10^{-17}\\ \mathrm{J}}{1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} \approx 329\\ \mathrm{eV}.
Interpretação: a incerteza mínima é da ordem de algumas centenas de eV (aprox. \,329\\ \mathrm{eV}), muito maior que o valor declarado \,10\\ \mathrm{eV}. Portanto, nesse caso a energia não é bem definida: estudar o elétron apenas durante \,10^{-18}\\ \mathrm{s} impõe uma largura espectral enorme na energia.

Passo 5

Conclusões até aqui (resumindo do jeito que a prova gosta):
  • (a) Sim: para \Delta t=1\\ \mathrm{s} a energia \,1\\ \mathrm{eV} é muito bem definida (incerteza \sim 3{,}3\times10^{-16}\\ \mathrm{eV}).
  • (b) Não: para \Delta t=10^{-18}\\ \mathrm{s} a incerteza em energia é da ordem de \sim 329\\ \mathrm{eV}, muito maior que \,10\\ \mathrm{eV}, então a energia não é bem definida.
Agora, como (a) foi respondido afirmativamente, calculo as quantidades pedidas assumindo que o elétron tem energia cinética exatamente \,E_{\text{cin}}=1\\ \mathrm{eV} (não-relativístico, o que é consistente para 1 eV).

Passo 6

Relação energia cinética ↔ momento (não relativística)
A relação usada é
E_{\text{cin}}=\frac{p^{2}}{2m},
onde p é o módulo do momento linear e m é a massa do elétron. Isolando p,
p=\sqrt{2mE_{\text{cin}}}.
Vou calcular com \,E_{\text{cin}}=1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Calcule 2mE:
2mE=2\cdot(9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg})\cdot(1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J})=2{,}9189687\times10^{-49}\\ \mathrm{kg^{2}\,m^{2}\,s^{-2}}.
Tomando a raiz,
p=\sqrt{2mE}\approx 5{,}40\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\,m/s}.

Passo 7

Número de onda k e comprimento de onda \lambda
Relações:
k=\frac{p}{\hbar},\qquad \lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{h}{p}.
Calcule k:
k=\frac{5{,}403\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\,m/s}}{1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}} \approx 5{,}12\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Calcule \lambda:
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}}{5{,}403\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\,m/s}}\approx 1{,}23\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Observação física: \lambda\approx1{,}23\\ \mathrm{nm}, é o comprimento de onda de de Broglie do elétron com 1\\ \mathrm{eV}.

Passo 8

Frequência angular \omega e frequência \nu
No formalismo da função de onda livre a dependência temporal é \exp(-iEt/\hbar), então a frequência angular é
\omega=\frac{E_{\text{cin}}}{\hbar}.
E a frequência comum é \nu=\omega/(2\pi)=E/h.
Calcule \omega:
\omega=\frac{1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}} \approx 1{,}52\times10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Calcule \nu:
\nu=\frac{E}{h}=\frac{1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}} \approx 2{,}42\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 9

Interpretação final curta (para te animar)
  • No caso (a) com \Delta t=1\\ \mathrm{s} a energia é perfeitamente bem definida na prática: a incerteza quântica é absurdamente pequena comparada a 1\\ \mathrm{eV}.
  • No caso (b) com \Delta t=10^{-18}\\ \mathrm{s} a energia não é bem definida: preparar/observar tão rápido implica uma largura de energia enorme (centenas de eV). Então o valor de 10\\ \mathrm{eV} seria uma estimativa muito imprecisa do que se mede realmente.
Força aí — você consegue — e qualquer parte das contas que queira que eu refaça com mais detalhe eu mostro passo a passo.

Resposta

(a) A energia \,E_{\text{cin}}=1\\ \mathrm{eV}\, é confiável; incerteza mínima \Delta E\gtrsim 3{,}29\times10^{-16}\\ \mathrm{eV}.
(b) A energia \,E_{\text{cin}}=10\\ \mathrm{eV}\, não é bem definida para \Delta t=10^{-18}\\ \mathrm{s}; incerteza mínima \Delta E\gtrsim 329\\ \mathrm{eV}.
Para o caso afirmativo (a), os valores são:
p\approx 5{,}40\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\,m/s}
\omega\approx 1{,}52\times10^{15}\\ \mathrm{s^{-1}}
\nu\approx 2{,}42\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
k\approx 5{,}12\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}}
\lambda\approx 1{,}23\times10^{-9}\\ \mathrm{m}

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