a) Imagine que um elétron seja emitido de uma fonte e propague por 1 s antes de ser detectado com a energia cinética
. Este valor da energia é confiável ou pode ter incertezas comparavelmente grandes?
b) Imagine que um elétron seja observado
depois de ser criado e a energia medida seja
. Este valor da energia é bem definida?
c) Caso possa responder a (a) ou/e (b) de forma afirmativa, qual é o momento
do elétron? Neste caso, calcule também a freqüência angular
, a freqüência
, o número de onda
e o comprimento de onda
da sua amplitude de probabilidade.
b) Imagine que um elétron seja observado
c) Caso possa responder a (a) ou/e (b) de forma afirmativa, qual é o momento
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, assim a gente não se perde no meio do desespero (tô contigo). Dados e perguntas:
- (a) Um elétron é emitido e propaga por
antes de ser detectado com energia cinética . Pergunta: esse valor de energia é confiável (isto é, bem definido) ou pode ter incertezas comparáveis? - (b) Um elétron é observado
após ser criado, e a energia medida é . Pergunta: essa energia é bem definida? - Se (a) e/ou (b) puderem ser respondidos afirmativamente (energia bem definida), calcular o momento
do elétron e, a partir disso, a frequência angular , a frequência , o número de onda e o comprimento de onda da amplitude de probabilidade.
Todos os valores numéricos que vou usar: massa do elétron
, constante de Planck
, constante reduzida
e
.
Passo 2
Princípio da incerteza tempo-energia (versão usada aqui)
- Fórmula prática (estimativa):
Expliquei as variáveis:
é a incerteza típica na energia,
é o intervalo de tempo durante o qual o estado foi preparado/observado, e
é a constante reduzida. Essa relação nos dá uma cota inferior para a incerteza em energia quando temos um tempo de vida/observação
. Não é uma igualdade exata sempre, mas serve como estimativa para saber se a energia pode ser considerada bem definida.
Vou usar essa fórmula para estimar
em (a) e (b).
Passo 3
Cálculo de
para o caso (a):
.
Aplicando a fórmula,
Converter para electronvolts:
Interpretação: a incerteza mínima é
, ou seja, ridiculamente pequena comparada a
. Portanto a energia
pode ser considerada extremamente bem definida neste caso (incerteza desprezível).
Passo 4
Cálculo de
para o caso (b):
.
Aplicando a fórmula,
Converter para electronvolts:
Interpretação: a incerteza mínima é da ordem de algumas centenas de eV (aprox.
), muito maior que o valor declarado
. Portanto, nesse caso a energia não é bem definida: estudar o elétron apenas durante
impõe uma largura espectral enorme na energia.
Passo 5
Conclusões até aqui (resumindo do jeito que a prova gosta):
- (a) Sim: para
a energia é muito bem definida (incerteza ). - (b) Não: para
a incerteza em energia é da ordem de , muito maior que , então a energia não é bem definida.
Agora, como (a) foi respondido afirmativamente, calculo as quantidades pedidas assumindo que o elétron tem energia cinética exatamente
(não-relativístico, o que é consistente para 1 eV).
Passo 6
Relação energia cinética ↔ momento (não relativística)
A relação usada é
onde
é o módulo do momento linear e
é a massa do elétron. Isolando
,
Vou calcular com
.
Calcule
:
Tomando a raiz,
Passo 7
Número de onda
e comprimento de onda
Relações:
Calcule
:
Calcule
:
Observação física:
, é o comprimento de onda de de Broglie do elétron com
.
Passo 8
Frequência angular
e frequência
No formalismo da função de onda livre a dependência temporal é
, então a frequência angular é
E a frequência comum é
.
Calcule
:
Calcule
:
Passo 9
Interpretação final curta (para te animar)
- No caso (a) com
a energia é perfeitamente bem definida na prática: a incerteza quântica é absurdamente pequena comparada a . - No caso (b) com
a energia não é bem definida: preparar/observar tão rápido implica uma largura de energia enorme (centenas de eV). Então o valor de seria uma estimativa muito imprecisa do que se mede realmente.
Força aí — você consegue — e qualquer parte das contas que queira que eu refaça com mais detalhe eu mostro passo a passo.
Resposta
(a) A energia
é confiável; incerteza mínima
(b) A energia não é bem definida para
; incerteza mínima
Para o caso afirmativo (a), os valores são:
(b) A energia
Para o caso afirmativo (a), os valores são: