Considerando a água a 25^{\circ} \mathrm{C} escoando a uma vazão de 70 \mathrm{~L} / \mathrm{s} através de um tubo de aço galvanizado de 150 mm de diâmetro interno, determine:
a. o regime de escoamento;
b. o fator de atrito (f);
c. considerando o observado no diagrama de Moody, responda:
i. Seria possível reduzir o fator de atrito (f)? E qual seria a vantagem dessa redução, se possível?
ii. Se o diâmetro da tubulação fosse de 300 mm , o qual seria o fator de atrito?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (sem resolver nada ainda).
  • Dados do enunciado:
    • Vazão volumétrica: Q = 70\\ \mathrm{L/s} = 0,07\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Tubo de aço galvanizado com diâmetro interno: D = 150\\ \mathrm{mm} = 0,150\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura da água: 25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar o regime de escoamento (laminar, de transição ou turbulento).
    • (b) Determinar o fator de atrito (f).
    • (c.i) Pelo diagrama de Moody: seria possível reduzir f? Qual a vantagem dessa redução?
    • (c.ii) Se o diâmetro fosse 300\\ \mathrm{mm}, qual seria o fator de atrito f?
Observação importante: o enunciado não fornece a rugosidade absoluta da tubulação. Para prosseguir com um valor numérico de f é necessário usar uma rugosidade típica tabulada para aço galvanizado. Vou indicar e justificar o valor que uso na resolução a seguir.

Passo 2

Calcular a velocidade média do escoamento a partir da vazão e da área da seção transversal (continuidade). Explicando a fórmula:
  • A área da seção transversal de um tubo circular vale
A = \frac{\pi D^2}{4},
onde D é o diâmetro interno do tubo.
  • A velocidade média é dada por
V = \frac{Q}{A},
onde Q é a vazão volumétrica.
Agora calculo numericamente:
A = \frac{\pi (0,150)^2}{4} = \pi \cdot 0,005625 \approx 0{,}01767\\ \mathrm{m^2}.
V = \frac{0{,}07}{0{,}01767} \approx 3{,}96\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática curta: a vazão é o volume por segundo; dividindo pelo espaço por onde o fluido passa (área) obtemos a velocidade média. Fácil — pense que se a área aumenta a velocidade cai, mantendo Q constante.

Passo 3

Determinar o número de Reynolds e decidir o regime de escoamento. Vou explicar o conceito e a fórmula:
  • O número de Reynolds é a grandeza adimensional que mede a razão entre efeitos inerciais e viscosos no escoamento. A fórmula é
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu},
onde V é a velocidade média, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática do fluido.
  • Critério usual: se \mathrm{Re} < 2300 o escoamento é laminar; entre \approx 2300 e 4000 está na região de transição; se \mathrm{Re} > 4000 é turbulento (regra prática).
Para água a 25^{\circ}\mathrm{C} uso a viscosidade cinemática tabulada:
\nu \approx 8{,}93\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
(Curiosidade: esse valor vem de tabelas físicas para água; se precisar da fonte oficial uso tabelas de propriedades de água.)
Agora calculo \mathrm{Re}:
\mathrm{Re} = \frac{3{,}96\cdot 0{,}150}{8{,}93\times10^{-7}} \approx \frac{0{,}594}{8{,}93\times10^{-7}} \approx 6{,}65\times10^{5}.
Interpretação: como \mathrm{Re}\approx 6{,}65\times10^{5}\gg 4000, o escoamento é claramente turbulento.

Passo 4

Escolha da rugosidade e explicação do método para obter f.
  • A rugosidade absoluta (\epsilon) depende do material e da condição da tubulação. Para aço galvanizado um valor tabulado típico é
\epsilon \approx 0{,}15\\ \mathrm{mm} = 1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Este é um valor padrão usado em engenharia para aço galvanizado — se a tubulação for muito nova e lisa ou estiver revestida o valor pode ser menor; se estiver corroída pode ser maior. Vou usar \epsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm} e, quando relevante, comentarei a sensibilidade da resposta a essa escolha.
  • Para escoamento turbulento em tubos rugosos, o fator de atrito f é normalmente obtido a partir da equação implícita de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2{,}0\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon/D}{3{,}7} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).
Resolver Colebrook exige iteração. Uma fórmula explícita de boa precisão e usada com frequência é a de Swamee–Jain:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2},
válida para escoamento turbulento. Vou usar Swamee–Jain (é rápida, explícita e adequada para prova).

Passo 5

Calcular o fator de atrito f para D=0{,}150\\ \mathrm{m} usando Swamee–Jain. Explico cada termo e depois faço as contas.
Primeiro calcule a rugosidade relativa:
\frac{\epsilon}{D} = \frac{1{,}5\times10^{-4}}{0{,}150} = 1{,}0\times10^{-3}.
Agora uso a fórmula de Swamee–Jain:
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\epsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
  • Calculo de cada termo:
\frac{\epsilon}{3{,}7D} = \frac{1{,}5\times10^{-4}}{3{,}7\cdot 0{,}150} \approx 2{,}70\times10^{-4}.
\mathrm{Re}^{0{,}9} = (6{,}65\times10^{5})^{0{,}9} \approx 1{,}737\times10^{5}.
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{1{,}737\times10^{5}} \approx 3{,}30\times10^{-5}.
\frac{\epsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 2{,}70\times10^{-4} + 3{,}30\times10^{-5} = 3{,}03\times10^{-4}.
\log_{10}\!\left(3{,}03\times10^{-4}\right) \approx -3{,}519.
\left[\log_{10}(\cdots)\right]^2 \approx (-3{,}519)^2 \approx 12{,}39.
f \approx \frac{0{,}25}{12{,}39} \approx 0{,}0202.
Interpretação didática: f\approx 0{,}020 é um valor típico para escoamentos turbulentos em tubos de aço com rugosidade moderada. Se preferir, poderia resolver a equação de Colebrook por iteração para verificar; Swamee–Jain dá resultado muito próximo.

Passo 6

Responder (c.i): é possível reduzir f? Qual a vantagem? Vou explicar conceitualmente e com a fórmula da perda de carga.
  • O fator de atrito f pode ser reduzido por:
    • Diminuir a rugosidade absoluta \epsilon (usar material mais liso, forrar o tubo com revestimento liso, trocar por tubo plástico liso como PVC).
    • Aumentar o diâmetro D (isto reduz \epsilon/D e também reduz a velocidade V para mesma vazão).
    • Reduzir a velocidade média V (por exemplo dividindo o fluxo em múltiplos tubos ou aumentando o diâmetro), o que tende a diminuir \mathrm{Re} e, dependendo da região, pode diminuir as perdas.
  • Vantagem prática (fórmula e interpretação):
    • A perda de carga por atrito em uma linha reta é dada pela equação de Darcy–Weisbach:
    h_f = f \frac{L}{D}\cdot\frac{V^2}{2g},
    onde h_f é a perda de carga (metros de coluna de água), L o comprimento do tubo e g a gravidade.
    • Assim, reduzir f reduz h_f linearmente, o que reduz a potência de bombeamento necessária:
    P_\text{bomba} = \rho g Q h_f.
    • Em palavras: reduzir f economiza energia (menor custo operacional), permite menores pressões de projeto e pode reduzir dimensões de bombas e tubulações complementares.
  • Conclusão curta e motivacional: sim, é possível reduzir f (por exemplo escolhendo tubulação mais lisa ou aumentando o diâmetro); a vantagem é redução das perdas de carga e economia de energia — coisa que banco e comissão de obras adoram.

Passo 7

Calcular o fator de atrito f para o caso com D = 300\\ \mathrm{mm} = 0{,}300\\ \mathrm{m} (parte c.ii). Procedimento e contas:
  • Para o mesmo Q, a área aumenta com D^2, então a velocidade diminui. Mais precisamente:
A_{0{,}3} = \frac{\pi (0{,}300)^2}{4} = 4\cdot A_{0{,}15},
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V_{0{,}3} = \frac{0{,}07}{A_{0{,}3}} = \frac{V_{0{,}15}}{4} \approx \frac{3{,}96}{4} \approx 0{,}99\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular \mathrm{Re} novo:
\mathrm{Re}_{0{,}3} = \frac{V_{0{,}3} D_{0{,}3}}{\nu} = \frac{0{,}99\cdot 0{,}300}{8{,}93\times10^{-7}} \approx \frac{0{,}297}{8{,}93\times10^{-7}} \approx 3{,}33\times10^{5}.
  • Rugosidade relativa com D=0{,}300\\ \mathrm{m}:
\frac{\epsilon}{D} = \frac{1{,}5\times10^{-4}}{0{,}300} = 5{,}0\times10^{-4}.
  • Usando Swamee–Jain novamente:
\frac{\epsilon}{3{,}7D} = \frac{1{,}5\times10^{-4}}{3{,}7\cdot 0{,}300} \approx 1{,}35\times10^{-4}.
\mathrm{Re}_{0{,}3}^{0{,}9} \approx (3{,}33\times10^{5})^{0{,}9} \approx 9{,}33\times10^{4}.
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{9{,}33\times10^{4}} \approx 6{,}15\times10^{-5}.
\frac{\epsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 1{,}35\times10^{-4} + 6{,}15\times10^{-5} = 1{,}97\times10^{-4}.
\log_{10}\!(1{,}97\times10^{-4}) \approx -3{,}707,\qquad \left[\log_{10}(\cdots)\right]^2 \approx 13{,}74.
f \approx \frac{0{,}25}{13{,}74} \approx 0{,}0182.
Interpretação: ao dobrar o diâmetro (de 150 mm para 300 mm) o fator de atrito diminuiu de cerca de 0{,}0202 para 0{,}0182. Não é uma redução gigantesca, mas combinada com a forte redução na velocidade e com o termo L/D na equação de Darcy–Weisbach, a perda de carga por comprimento cai bastante (observe também que L/D diminui porque D dobrou).

Passo 8

Resumo numérico rápido (para usar na prova ou nas verificações):
  • Para D=0{,}150\\ \mathrm{m}:
    • V\approx 3{,}96\\ \mathrm{m/s}.
    • \mathrm{Re}\approx 6{,}65\times10^{5} (turbulento).
    • Usando \epsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}: f\approx 0{,}0202.
  • Para D=0{,}300\\ \mathrm{m}:
    • V\approx 0{,}99\\ \mathrm{m/s}.
    • \mathrm{Re}\approx 3{,}33\times10^{5} (turbulento).
    • Com a mesma \epsilon: f\approx 0{,}0182.
Motivação final leve: dá pra ver que aumentar diâmetro e usar tubos mais lisos ajuda — mas tem trade-off de custo inicial. Energia salva ao longo dos anos costuma pagar a conta. Bora pro próximo exercício?

Resposta

a) Regime de escoamento: turbulento ( \mathrm{Re}\approx 6{,}65\times10^{5}).
b) Fator de atrito: f\approx 0{,}0202 (para \epsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}).
c.i) Sim: pode reduzir f usando tubulação mais lisa (menor \epsilon), aumentando o diâmetro ou reduzindo a velocidade; a vantagem é menor perda de carga ( h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}) e, portanto, economia de energia de bombeamento.
c.ii) Para D=300\\ \mathrm{mm}: f\approx 0{,}0182 (mantendo \epsilon=0{,}15\\ \mathrm{mm}).

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