Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 responda:
Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar, sendo que o primeiro número deve ser múltiplo de 2 e o último número deve ser ímpar?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar usando os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9, sob as seguintes restrições: o primeiro algarismo (o das unidades de milhar) deve ser múltiplo de 2 e o último algarismo (o das unidades) deve ser ímpar. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Conjunto de algarismos disponíveis: \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.
  • Digitos devem ser distintos entre si (sem repetir).
  • Primeiro algarismo pertence ao conjunto dos pares \{2,4,6,8\} — são 4 possibilidades.
  • Último algarismo pertence ao conjunto dos ímpares \{1,3,5,7,9\} — são 5 possibilidades.
    A questão a responder é: quantos números de 4 algarismos satisfazem tudo isso?

Passo 2

Vamos usar o princípio fundamental da contagem (regra do produto). Explicando de forma simples: se uma tarefa consiste em fazer uma sequência de escolhas e a primeira escolha pode ser feita de a maneiras, e para cada escolha da primeira a segunda pode ser feita de b maneiras, então o total de sequências de escolhas é a\cdot b. Exemplo pequeno: escolher uma camisa entre 3 e uma calça entre 2 3\cdot 2=6 combinações. Aqui vamos aplicar essa regra ao escolher os 4 algarismos em sequência (primeiro, segundo, terceiro, quarto).

Passo 3

Escolha do primeiro algarismo (milhares). Pelo enunciado o primeiro deve ser múltiplo de 2, ou seja, um dos pares \{2,4,6,8\}. Como todos esses dígitos estão no nosso conjunto disponível e não há 0, temos exatamente \,4\, escolhas possíveis para o primeiro algarismo.

Passo 4

Escolha do último algarismo (unidades). Pelo enunciado o último deve ser ímpar, ou seja, um dos ímpares \{1,3,5,7,9\}. Esses dígitos são todos diferentes dos pares do primeiro algarismo, logo a escolha do último tem \,5\, possibilidades e não conflita com a escolha do primeiro (não podem ser o mesmo dígito porque um é par e o outro é ímpar).

Passo 5

Escolha do segundo algarismo (centenas). Após fixarmos o primeiro e o último algarismos, restam \,9-2=7\, algarismos disponíveis (porque começamos com 9 algarismos e já usamos 2 deles, todos distintos). Como os algarismos devem ser distintos, o algarismo das centenas pode ser escolhido de \,7\, maneiras.

Passo 6

Escolha do terceiro algarismo (dezenas). Depois de escolher o primeiro, o segundo e o último, restam \,9-3=6\, algarismos não usados. Portanto o algarismo das dezenas pode ser escolhido de \,6\, maneiras.

Passo 7

Aplicando a regra do produto para todas as escolhas: o número total de números válidos é
4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 6.
Vamos calcular passo a passo:
4\cdot 5 = 20,
20\cdot 7 = 140,
140\cdot 6 = 840.
Como verificação alternativa, podemos ver que após escolher primeiro e último há 7 algarismos disponíveis para preencher as 2 posições do meio, ou seja P(7,2)=7\cdot 6; então total =4\cdot 5 \cdot P(7,2)=4\cdot5\cdot7\cdot6=840. O resultado é menor que o total sem restrições \,9\cdot8\cdot7\cdot6=3024, o que faz sentido.

Passo 8

Resumo e interpretação final: cada número é construído escolhendo primeiro um par ( 4 opções), depois um ímpar para a unidade ( 5 opções), e preenchendo as duas posições do meio com dois dos 7 algarismos restantes sem repetição ( 7 e depois 6 opções). Multiplicando essas escolhas obtemos o total final.

Resposta

840

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