Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 responda:
Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar, sendo que o primeiro número deve ser múltiplo de 2 e o último número deve ser ímpar?
Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar, sendo que o primeiro número deve ser múltiplo de 2 e o último número deve ser ímpar?
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar usando os algarismos
, sob as seguintes restrições: o primeiro algarismo (o das unidades de milhar) deve ser múltiplo de
e o último algarismo (o das unidades) deve ser ímpar. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Conjunto de algarismos disponíveis:
. - Digitos devem ser distintos entre si (sem repetir).
- Primeiro algarismo pertence ao conjunto dos pares
— são possibilidades. - Último algarismo pertence ao conjunto dos ímpares
— são possibilidades.
A questão a responder é: quantos números dealgarismos satisfazem tudo isso?
Passo 2
Vamos usar o princípio fundamental da contagem (regra do produto). Explicando de forma simples: se uma tarefa consiste em fazer uma sequência de escolhas e a primeira escolha pode ser feita de
maneiras, e para cada escolha da primeira a segunda pode ser feita de
maneiras, então o total de sequências de escolhas é
. Exemplo pequeno: escolher uma camisa entre
e uma calça entre
dá
combinações. Aqui vamos aplicar essa regra ao escolher os
algarismos em sequência (primeiro, segundo, terceiro, quarto).
Passo 3
Escolha do primeiro algarismo (milhares). Pelo enunciado o primeiro deve ser múltiplo de
, ou seja, um dos pares
. Como todos esses dígitos estão no nosso conjunto disponível e não há
, temos exatamente
escolhas possíveis para o primeiro algarismo.
Passo 4
Escolha do último algarismo (unidades). Pelo enunciado o último deve ser ímpar, ou seja, um dos ímpares
. Esses dígitos são todos diferentes dos pares do primeiro algarismo, logo a escolha do último tem
possibilidades e não conflita com a escolha do primeiro (não podem ser o mesmo dígito porque um é par e o outro é ímpar).
Passo 5
Escolha do segundo algarismo (centenas). Após fixarmos o primeiro e o último algarismos, restam
algarismos disponíveis (porque começamos com
algarismos e já usamos
deles, todos distintos). Como os algarismos devem ser distintos, o algarismo das centenas pode ser escolhido de
maneiras.
Passo 6
Escolha do terceiro algarismo (dezenas). Depois de escolher o primeiro, o segundo e o último, restam
algarismos não usados. Portanto o algarismo das dezenas pode ser escolhido de
maneiras.
Passo 7
Aplicando a regra do produto para todas as escolhas: o número total de números válidos é
Vamos calcular passo a passo:
Como verificação alternativa, podemos ver que após escolher primeiro e último há
algarismos disponíveis para preencher as
posições do meio, ou seja
; então total
. O resultado é menor que o total sem restrições
, o que faz sentido.
Passo 8
Resumo e interpretação final: cada número é construído escolhendo primeiro um par (
opções), depois um ímpar para a unidade (
opções), e preenchendo as duas posições do meio com dois dos
algarismos restantes sem repetição (
e depois
opções). Multiplicando essas escolhas obtemos o total final.