1. (FEI - SP) Obter o número de anagramas da palavra RÉPUBLICA, nos quais as vogais se mantém nas respectivas posições.

Passo 1

O enunciado pede: “Obter o número de anagramas da palavra RÉPUBLICA, nos quais as vogais se mantém nas respectivas posições.”
Informações dadas e o que precisamos entender agora:
  • A palavra é “RÉPUBLICA”, que tem 9 letras nas posições 1 a 9.
  • As vogais na palavra, com suas posições, são: posição 2 = \acute{E}, posição 4 = U, posição 7 = I e posição 9 = A.
  • As consoantes, com suas posições originais, são: posição 1 = R, posição 3 = P, posição 5 = B, posição 6 = L, posição 8 = C.
  • A condição “as vogais se mantém nas respectivas posições” significa que cada vogal deve permanecer na mesma posição que ocupa na palavra original (ou seja, não podem trocar de posição entre si).
    Nossa tarefa: contar quantos anagramas (rearranjos das letras) existem sob essa condição.

Passo 2

Interpretação clara da condição e consequente simplificação do problema:
  • Como cada vogal está presa à sua posição original (posição 2,4,7,9 ficam exatamente com \acute{E},U,I,A, respectivamente), essas posições ficam fixas e não participam de permutações.
  • Sob essa interpretação, só podemos permutar as consoantes entre as posições restantes ( 1,3,5,6,8).
    Portanto o problema reduz-se a: de quantas maneiras distintas podemos colocar as 5 consoantes ( R,P,B,L,C) nas 5 posições de consoante?

Passo 3

Observação sobre distinção de letras e fórmula a usar:
  • Todas as 9 letras da palavra são distintas entre si (não há repetições). Em particular, as 5 consoantes são todas diferentes.
  • Quando temos m objetos distintos e queremos contá-los em todas as ordens possíveis, o número de permutações é dado por m! (fatorial de m).
    Explicando o fatorial de forma bem direta:
  • A notação m! significa multiplicar todos os inteiros positivos de 1 até m:
m! = m\cdot(m-1)\cdot(m-2)\cdots 2\cdot1.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: permutar as 5 consoantes nas 5 posições disponíveis.
  • Aqui m=5, então o número de permutações possíveis é 5!.
  • Calculemos 5!:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
  • Fazendo as multiplicações passo a passo:
5\cdot4 = 20,\quad 20\cdot3 = 60,\quad 60\cdot2 = 120,\quad 120\cdot1 = 120.

Passo 5

Conclusão e interpretação final:
  • Como as vogais estão fixas em suas respectivas posições, apenas as 5 consoantes se reordenam. O número total de anagramas que respeitam a condição é exatamente o número de permutações das 5 consoantes, que é 5! = 120.
  • Dica mental para a prova: assim que uma condição “tal tipo de letra fica nas mesmas posições” aparece, isole essas posições como fixas e conte as permutações apenas das letras que podem se mover.

Resposta

120

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