- (FEI - SP) Obter o número de anagramas da palavra RÉPUBLICA, nos quais as vogais se mantém nas respectivas posições.
Passo 1
O enunciado pede: “Obter o número de anagramas da palavra RÉPUBLICA, nos quais as vogais se mantém nas respectivas posições.”
Informações dadas e o que precisamos entender agora:
Informações dadas e o que precisamos entender agora:
- A palavra é “RÉPUBLICA”, que tem
letras nas posições a . - As vogais na palavra, com suas posições, são: posição
= , posição = , posição = e posição = . - As consoantes, com suas posições originais, são: posição
= , posição = , posição = , posição = , posição = . - A condição “as vogais se mantém nas respectivas posições” significa que cada vogal deve permanecer na mesma posição que ocupa na palavra original (ou seja, não podem trocar de posição entre si).
Nossa tarefa: contar quantos anagramas (rearranjos das letras) existem sob essa condição.
Passo 2
Interpretação clara da condição e consequente simplificação do problema:
- Como cada vogal está presa à sua posição original (posição
ficam exatamente com , respectivamente), essas posições ficam fixas e não participam de permutações. - Sob essa interpretação, só podemos permutar as consoantes entre as posições restantes (
).
Portanto o problema reduz-se a: de quantas maneiras distintas podemos colocar asconsoantes ( ) nas posições de consoante?
Passo 3
Observação sobre distinção de letras e fórmula a usar:
- Todas as
letras da palavra são distintas entre si (não há repetições). Em particular, as consoantes são todas diferentes. - Quando temos
objetos distintos e queremos contá-los em todas as ordens possíveis, o número de permutações é dado por (fatorial de ).
Explicando o fatorial de forma bem direta: - A notação
significa multiplicar todos os inteiros positivos de até :
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: permutar as
consoantes nas
posições disponíveis.
- Aqui
, então o número de permutações possíveis é . - Calculemos
:
- Fazendo as multiplicações passo a passo:
Passo 5
Conclusão e interpretação final:
- Como as vogais estão fixas em suas respectivas posições, apenas as
consoantes se reordenam. O número total de anagramas que respeitam a condição é exatamente o número de permutações das consoantes, que é . - Dica mental para a prova: assim que uma condição “tal tipo de letra fica nas mesmas posições” aparece, isole essas posições como fixas e conte as permutações apenas das letras que podem se mover.