Considerando que \alpha é o ângulo formado entre o diâmetro A B e a corda A C de uma circunferência, é correto afirmar:
(01) Se \alpha=45^{\circ} e A C=2 \mathrm{~cm}, então o raio da circunferência mede 2 \sqrt{ } 2 \mathrm{~cm}.
(02) Se AB e AC medem 13 cm e 12 cm respectivamente, então a corda B C mede 5 cm .
(04) Se \alpha=60^{\circ}, então a corda AC e o raio da circunferência têm a mesma medida.
(08) Se AC é o lado do quadrado inscrito na circunferência, então \operatorname{tg} \alpha=1.
(16) Se \operatorname{sen} \alpha-2 \cos \alpha=0, então \operatorname{cotg} \alpha=2.
Soma dos itens corretos:

Passo 1

O enunciado diz que AB é diâmetro e AC é corda, de modo que, pelo Teorema de Tales, no triângulo ABC o ângulo em C é reto. Logo \triangle ABC é retângulo em C, com hipotenusa AB=2R, cateto adjacente a \alpha igual a AC e cateto oposto igual a BC. Assim valem
AC = 2R\cos\alpha,
BC = 2R\sin\alpha.

Passo 2

Verificando o item (01): se \alpha=45^\circ e AC=2, então
2 = 2R\cos45^\circ = 2R\frac{\sqrt2}{2} = R\sqrt2
logo R = \tfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2, não 2\sqrt2. Item (01) é falso.

Passo 3

Verificando o item (02): se AB=13 e AC=12, então em \triangle ABC retângulo temos hipotenusa 13 e um cateto 12, de modo que o outro cateto é
BC = \sqrt{13^2 -12^2} = \sqrt{169-144} =5.
Portanto item (02) é verdadeiro.

Passo 4

Verificando o item (04): se \alpha=60^\circ, então
AC = 2R\cos60^\circ = 2R\cdot\tfrac12 = R,
ou seja, AC e R são iguais. Item (04) é verdadeiro.

Passo 5

Verificando o item (08): ao inscrever um quadrado na circunferência, seu lado AC satisfaz
AC = R\sqrt2,
porém também AC = 2R\cos\alpha. Igualando,
2R\cos\alpha = R\sqrt2 \;\Longrightarrow\; \cos\alpha = \tfrac{\sqrt2}{2} \;\Longrightarrow\; \alpha=45^\circ \;\Longrightarrow\; \tan\alpha=1.
Item (08) é verdadeiro.

Passo 6

Verificando o item (16): da equação
\sin\alpha - 2\cos\alpha =0 \;\Longrightarrow\; \sin\alpha = 2\cos\alpha \;\Longrightarrow\; \tan\alpha =2 \;\Longrightarrow\; \cot\alpha = \tfrac{1}{2},
não 2. Item (16) é falso.

Resposta

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