Considerando que o carregamento distribuído na viga da Questão 2 é q= 5 k N / m; o vão entre apoios é L=4 m e a largura da seção transversal B= 20 cm ;
a) Qual deve ser a altura H da viga para que a tensão normal máxima não ultrapasse \sigma_{x} \leq 2,2 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2} ?
b) Qual deve ser a altura H da viga para que a tensões máxima de cisalhamento não ultrapasse \tau_{x y} \leq 0,02 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2} ?
c) Qual deve ser a altura H da viga para que o deslocamento da viga não ultrapasse o limite de y_{\text {máx }} \leq L / 250á ?
d) Qual altura H você adotaria para que a viga estivesse com segurança, considerando os limites de \sigma_{x} \leq 2,2 k N / c m^{2} ; \tau_{x y} \leq 0,02 k N / c m^{2} e y_{\text {máx }} \leqá L/250

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com as unidades convertidas para o SI, porque isso evita confusão nas contas):
  • Carga distribuída: q=5\\ \mathrm{kN/m} = 5000\\ \mathrm{N/m}.
  • Vão entre apoios: L=4\\ \mathrm{m}.
  • Largura da seção: B=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Limite de tensão normal pedido: \sigma_x \le 2{,}2\\ \mathrm{kN/cm^2}. Vou converter para Pascal: 1\\ \mathrm{kN/cm^2} = \frac{1000\\ \mathrm{N}}{(0{,}01\\ \mathrm{m})^2}=10^7\\ \mathrm{Pa},então \sigma_{adm}=2{,}2\times10^7\\ \mathrm{Pa}=22{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Limite de tensão de cisalhamento pedido: \tau_{xy}\le 0{,}02\\ \mathrm{kN/cm^2}. Convertendo: \tau_{adm}=0{,}02\times10^7\\ \mathrm{Pa}=2{,}0\times10^5\\ \mathrm{Pa}=0{,}20\\ \mathrm{MPa}.
  • Limite de deslocamento máximo: y_{\max}\le L/250 = 4/250 = 0{,}016\\ \mathrm{m} = 16\\ \mathrm{mm}.
O que é pedido:
a) Determinar H para satisfazer \sigma_x\le 2{,}2\\ \mathrm{kN/cm^2}.
b) Determinar H para satisfazer \tau_{xy}\le 0{,}02\\ \mathrm{kN/cm^2}.
c) Determinar H para satisfazer y_{\max}\le L/250. (Observação: para isso é necessária a constante elástica E; se E não for dada, a resposta será em função de E.)
d) Sugerir a altura H a adotar considerando todos os limites.

Passo 2

Cálculo do requisito pela tensão normal (flexão).
Teoria essencial (explicada devagar):
  • Em flexão linear a tensão normal na fibra distante y do centro neutro é \sigma_x = \frac{M\,y}{I},onde M é o momento fletor no ponto crítico, y é a distância da fibra ao centro (para máxima tensão tomamos y=H/2) e I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro.
  • Para uma seção retangular de base B e altura H o momento de inércia em relação ao eixo neutro horizontal é I=\frac{B\,H^3}{12}.
Determinar M_{\max} para viga bi-apoiada com carga uniformemente distribuída:
M_{\max}=\frac{qL^2}{8}.
Substituindo numericamente:
M_{\max}=\frac{5000\cdot 4^2}{8}=\frac{5000\cdot16}{8}=5000\cdot2=10000\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora a tensão máxima de flexão (na fibra mais afastada):
\sigma_{max}=\frac{M_{\max}\,(H/2)}{I} =\frac{M_{\max}\,(H/2)}{(B H^3/12)} = \frac{M_{\max}\,6}{B H^2}.
Queremos \sigma_{max}\le\sigma_{adm}, logo
H^2 \ge \frac{6 M_{\max}}{B\,\sigma_{adm}}.
Substituindo valores:
H^2 \ge \frac{6\cdot 10000}{0{,}20\cdot 2{,}2\times10^{7}} = \frac{60000}{4{,}4\times10^{6}}=0{,}01363636\ldots
H \ge \sqrt{0{,}01363636\ldots}=0{,}1167\\ \mathrm{m}=11{,}67\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: para não ultrapassar a tensão de flexão limite, a altura mínima é aproximadamente H=0{,}117\\ \mathrm{m} (11,7 cm).

Passo 3

Cálculo do requisito pela tensão de cisalhamento.
Teoria essencial (explicada devagar):
  • A força cortante máxima em viga bi-apoiada com carga uniformemente distribuída é V_{\max}=\frac{qL}{2}.
  • Para seção retangular a tensão de cisalhamento máxima (no centro, eixo neutro) é \tau_{max}=\frac{3}{2}\,\frac{V_{\max}}{A},onde A=B H é a área da seção. (Essa fórmula vem da distribuição parabolóide da tensão cortante numa seção retangular; o coeficiente 3/2 é padrão para retângulo.)
Calcule V_{\max}:
V_{\max}=\frac{5000\cdot 4}{2}=5000\cdot 2=10000\\ \mathrm{N}.
Impondo \tau_{max}\le\tau_{adm}:
\frac{3}{2}\frac{V_{\max}}{B H} \le \tau_{adm} \quad\Rightarrow\quad H \ge \frac{3 V_{\max}}{2 B \tau_{adm}}.
Substituindo:
H \ge \frac{3\cdot 10000}{2\cdot 0{,}20\cdot 2{,}0\times10^{5}} = \frac{30000}{0{,}4\cdot 2\times10^{5}}=\frac{30000}{80000}=0{,}375\\ \mathrm{m}.
Ou seja H\ge 0{,}375\\ \mathrm{m}=37{,}5\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: para não ultrapassar a tensão de cisalhamento limite, a altura mínima é 37{,}5\\ \mathrm{cm}, bem maior que a exigida por flexão.

Passo 4

Cálculo do requisito pelo deslocamento (flecha).
Teoria essencial (explicada devagar):
  • Flecha máxima y_{\max} para viga bi-apoiada com carga distribuída q é y_{\max}=\frac{5 q L^4}{384 E I}.
  • Novamente I=\dfrac{B H^3}{12}. Substituindo: y_{\max}=\frac{5 q L^4}{384 E \,(B H^3/12)} =\frac{5\cdot 12}{384}\cdot\frac{q L^4}{E B H^3} =\frac{5}{32}\cdot\frac{q L^4}{E B H^3}.
Queremos y_{\max}\le L/250. Colocando isso:
\frac{5}{32}\cdot\frac{q L^4}{E B H^3} \le \frac{L}{250}.
Isolando H^3:
H^3 \ge \frac{5}{32}\cdot\frac{q L^4}{E B}\cdot\frac{250}{L} = \frac{5\cdot 250}{32}\cdot\frac{q L^3}{E B} = \frac{625}{16}\cdot\frac{q L^3}{E B}.
Portanto
H \ge \left(\frac{625}{16}\cdot\frac{q L^3}{E B}\right)^{1/3}.
Observação importante: para calcular um valor numérico de H é necessário conhecer o módulo de elasticidade E do material da viga. O enunciado não forneceu E, portanto a melhor resposta exata é a expressão acima (em função de E). Para dar intuição, calculo H para três valores típicos de E:
  • Caso aço estrutural: E=210\\ \mathrm{GPa}=2{,}10\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}. H \approx 0{,}0668\\ \mathrm{m}=6{,}68\\ \mathrm{cm}.
  • Caso concreto (valor típico): E\approx 30\\ \mathrm{GPa}=3{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{Pa}. H \approx 0{,}1277\\ \mathrm{m}=12{,}77\\ \mathrm{cm}.
  • Caso madeira (valor ilustrativo): E\approx 10\\ \mathrm{GPa}=1{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{Pa}. H \approx 0{,}1855\\ \mathrm{m}=18{,}55\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: a exigência de flecha é altamente dependente de E. Para materiais rígidos (aço) a flecha não é o fator crítico aqui; para materiais pouco rígidos (madeira) a exigência aumenta, mas ainda fica abaixo do requisito de cisalhamento encontrado no Passo 3.

Passo 5

Conclusão prática e escolha final de H.
  • Dos três requisitos calculados numericamente (usando os dados fornecidos e assumindo apenas o que foi dado):
    • Requisito por flexão: H\ge 0{,}1167\\ \mathrm{m} (11,7 cm).
    • Requisito por cisalhamento: H\ge 0{,}375\\ \mathrm{m} (37,5 cm).
    • Requisito por flecha: depende de E; para materiais comuns:
      • aço: H\ge 0{,}0668\\ \mathrm{m} (6,68 cm),
      • concreto: H\ge 0{,}1277\\ \mathrm{m} (12,77 cm),
      • madeira: H\ge 0{,}1855\\ \mathrm{m} (18,55 cm).
  • O requisito mais restritivo, entre os dois que não dependem de E (flexão e cisalhamento), é o de cisalhamento: H\ge 0{,}375\\ \mathrm{m}. Mesmo para madeira (o caso com maior flecha) o requisito de flecha ( \approx 0{,}1855\\ \mathrm{m}) é menor que 0{,}375\\ \mathrm{m}. Logo, para garantir todas as três condições com segurança, é preciso adotar pelo menos o valor imposto pelo cisalhamento.
  • Recomenda-se portanto adotar H=0{,}375\\ \mathrm{m} (37,5 cm) como altura mínima. Na prática de projeto costuma-se arredondar para cima por fatores de segurança e facilidade de construção; uma adoção prática seria H=0{,}40\\ \mathrm{m} (40 cm), que deixa folga tanto para o cisalhamento quanto para efeitos não ideais (concentrações, tolerâncias, imperfeições).
Força de ânimo: pronto — o requisito que “manda” aqui é o cisalhamento; as outras verificações ficam satisfeitas com folga se escolhermos algo em torno de 40 cm. Vai dar certo!

Resposta

(a) H \ge 0{,}1167\\ \mathrm{m}\approx 11{,}7\\ \mathrm{cm}
(b) H \ge 0{,}375\\ \mathrm{m}\approx 37{,}5\\ \mathrm{cm}
(c) H \ge \left(\dfrac{625}{16}\cdot\dfrac{q L^3}{E B}\right)^{1/3}. Exemplos numéricos: para E=210\\ \mathrm{GPa}\Rightarrow H\approx 0{,}0668\\ \mathrm{m}\\ (6{,}68\\ \mathrm{cm}); para E=30\\ \mathrm{GPa}\Rightarrow H\approx 0{,}1277\\ \mathrm{m}\\ (12{,}77\\ \mathrm{cm}); para E=10\\ \mathrm{GPa}\Rightarrow H\approx 0{,}1855\\ \mathrm{m}\\ (18{,}55\\ \mathrm{cm}).
(d) Altura a adotar: H=0{,}375\\ \mathrm{m}\\ (37{,}5\\ \mathrm{cm}) como mínimo; recomendação prática: H=0{,}40\\ \mathrm{m}\\ (40\\ \mathrm{cm}) para segurança.

Exercícios relacionados