Considerando que o carregamento distribuído na viga da Questão 2 é
; o vão entre apoios é
e a largura da seção transversal
20 cm ;
a) Qual deve ser a altura
da viga para que a tensão normal máxima não ultrapasse
?
b) Qual deve ser a altura
da viga para que a tensões máxima de cisalhamento não ultrapasse
?
c) Qual deve ser a altura
da viga para que o deslocamento da viga não ultrapasse o limite de
?
d) Qual altura
você adotaria para que a viga estivesse com segurança, considerando os limites de
e
L/250
a) Qual deve ser a altura
b) Qual deve ser a altura
c) Qual deve ser a altura
d) Qual altura
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com as unidades convertidas para o SI, porque isso evita confusão nas contas):
- Carga distribuída:
. - Vão entre apoios:
. - Largura da seção:
. - Limite de tensão normal pedido:
. Vou converter para Pascal: então - Limite de tensão de cisalhamento pedido:
. Convertendo: - Limite de deslocamento máximo:
O que é pedido:
a) Determinar para satisfazer
.
b) Determinar para satisfazer
.
c) Determinar para satisfazer
. (Observação: para isso é necessária a constante elástica
; se
não for dada, a resposta será em função de
.)
d) Sugerir a altura a adotar considerando todos os limites.
a) Determinar
b) Determinar
c) Determinar
d) Sugerir a altura
Passo 2
Cálculo do requisito pela tensão normal (flexão).
Teoria essencial (explicada devagar):
- Em flexão linear a tensão normal na fibra distante
do centro neutro é onde é o momento fletor no ponto crítico, é a distância da fibra ao centro (para máxima tensão tomamos ) e é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro. - Para uma seção retangular de base
e altura o momento de inércia em relação ao eixo neutro horizontal é
Determinar
para viga bi-apoiada com carga uniformemente distribuída:
Substituindo numericamente:
Agora a tensão máxima de flexão (na fibra mais afastada):
Queremos
, logo
Substituindo valores:
Interpretação: para não ultrapassar a tensão de flexão limite, a altura mínima é aproximadamente
(11,7 cm).
Passo 3
Cálculo do requisito pela tensão de cisalhamento.
Teoria essencial (explicada devagar):
- A força cortante máxima em viga bi-apoiada com carga uniformemente distribuída é
- Para seção retangular a tensão de cisalhamento máxima (no centro, eixo neutro) é
onde é a área da seção. (Essa fórmula vem da distribuição parabolóide da tensão cortante numa seção retangular; o coeficiente é padrão para retângulo.)
Calcule
:
Impondo
:
Substituindo:
Ou seja
Interpretação: para não ultrapassar a tensão de cisalhamento limite, a altura mínima é
, bem maior que a exigida por flexão.
Passo 4
Cálculo do requisito pelo deslocamento (flecha).
Teoria essencial (explicada devagar):
- Flecha máxima
para viga bi-apoiada com carga distribuída é - Novamente
. Substituindo:
Queremos
. Colocando isso:
Isolando
:
Portanto
Observação importante: para calcular um valor numérico de
é necessário conhecer o módulo de elasticidade
do material da viga. O enunciado não forneceu
, portanto a melhor resposta exata é a expressão acima (em função de
). Para dar intuição, calculo
para três valores típicos de
:
- Caso aço estrutural:
. - Caso concreto (valor típico):
. - Caso madeira (valor ilustrativo):
.
Interpretação: a exigência de flecha é altamente dependente de
. Para materiais rígidos (aço) a flecha não é o fator crítico aqui; para materiais pouco rígidos (madeira) a exigência aumenta, mas ainda fica abaixo do requisito de cisalhamento encontrado no Passo 3.
Passo 5
Conclusão prática e escolha final de
.
-
Dos três requisitos calculados numericamente (usando os dados fornecidos e assumindo apenas o que foi dado):
- Requisito por flexão:
(11,7 cm). - Requisito por cisalhamento:
(37,5 cm). - Requisito por flecha: depende de
; para materiais comuns: - aço:
(6,68 cm), - concreto:
(12,77 cm), - madeira:
(18,55 cm).
- aço:
- Requisito por flexão:
-
O requisito mais restritivo, entre os dois que não dependem de
(flexão e cisalhamento), é o de cisalhamento: . Mesmo para madeira (o caso com maior flecha) o requisito de flecha ( ) é menor que . Logo, para garantir todas as três condições com segurança, é preciso adotar pelo menos o valor imposto pelo cisalhamento. -
Recomenda-se portanto adotar
(37,5 cm) como altura mínima. Na prática de projeto costuma-se arredondar para cima por fatores de segurança e facilidade de construção; uma adoção prática seria (40 cm), que deixa folga tanto para o cisalhamento quanto para efeitos não ideais (concentrações, tolerâncias, imperfeições).
Força de ânimo: pronto — o requisito que “manda” aqui é o cisalhamento; as outras verificações ficam satisfeitas com folga se escolhermos algo em torno de 40 cm. Vai dar certo!
Resposta
(a)
(b)
(c) . Exemplos numéricos: para
; para
; para
.
(d) Altura a adotar: como mínimo; recomendação prática:
para segurança.
(b)
(c)
(d) Altura a adotar: