Uma partícula de massa m move-se com momentum angular \ell em um campo de força central dado por
F(r)=-\frac{k}{r^{2}}+\frac{\lambda}{r^{3}}
onde k, \lambda>0.
a) A partir da equação do movimento radial prove que a órbita tem a forma
r(\theta)=\frac{\alpha}{1+\epsilon \cos (\beta \theta)},
onde \alpha, \beta e \epsilon são constantes positivas.
b) Encontre \alpha e \beta em termos dos parâmetros do problema e descreva a órbita para o caso 0<\epsilon<1.
c) Para que valores de \beta a órbita é fechada? O que acontece com seu resultado quando \lambda \rightarrow 0 ?

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m que se move sob uma força central radial
F(r)=-\frac{k}{r^{2}}+\frac{\lambda}{r^{3}},
com k>0 e \lambda>0. O momento angular da partícula é \ell (constante). O que o enunciado pede:
  • (a) A partir da equação do movimento radial, provar que a órbita pode ser escrita na forma r(\theta)=\frac{\alpha}{1+\epsilon \cos(\beta \theta)},com \alpha,\beta,\epsilon>0.
  • (b) Encontrar \alpha e \beta em termos de m,\ell,k,\lambda e descrever a forma da órbita quando 0<\epsilon<1.
  • (c) Determinar para que valores de \beta a órbita é fechada e o que acontece com essa condição quando \lambda\to0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Força radial F(r) dada acima.
  • Momento angular \ell constante (conservação do momento angular).
  • k,\lambda,m,\ell>0.
  • A forma proposta da órbita é racional em \cos(\beta\theta) e envolve constantes \alpha,\beta,\epsilon.

Passo 2

Vamos deduzir a equação de movimento radial e transformar para a variável u(\theta) com u(\theta)=\dfrac{1}{r(\theta)}. Primeiro, escrevemos a equação radial de Newton em coordenadas polares:
m\left(\ddot r - r\dot\theta^{2}\right)=F(r).
Aqui \dot{} denota derivada em relação ao tempo t. A conservação do momento angular dá
\ell = m r^{2}\dot\theta \quad\Rightarrow\quad \dot\theta=\frac{\ell}{m r^{2}}.
Agora vamos reescrever o termo \ddot r - r\dot\theta^{2} em função de u(\theta)=1/r e derivadas em relação a \theta. Usamos d/dt=\dot\theta\,d/d\theta. Primeiro, note que r=1/u, então
\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\dot\theta,\qquad \frac{d^{2}r}{dt^{2}}=\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}}\dot\theta^{2}+\frac{dr}{d\theta}\ddot\theta.
Calculamos \ddot\theta a partir de \dot\theta=\dfrac{\ell}{m}u^{2}:
\ddot\theta=\frac{\ell}{m}\frac{d(u^{2})}{dt}=\frac{\ell}{m}\cdot 2u\frac{du}{dt} = \frac{\ell}{m}\cdot 2u\frac{du}{d\theta}\dot\theta.
Agora substituímos; depois de simplificar (as contas padrão podem ser feitas explicitamente, seguir a linha abaixo é suficiente para chegar à identidade conhecida) obtemos a identidade útil
\ddot r - r\dot\theta^{2}= -\frac{\ell^{2}}{m^{2}}u^{2}\left(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u\right).
Esta identidade é a base do que chamamos de fórmula de Binet. Multiplicando por m e igualando à força:
m\left(\ddot r - r\dot\theta^{2}\right)=F(r) \quad\Longrightarrow\quad -\frac{\ell^{2}}{m}u^{2}\left(\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u\right)=F\!\bigg(\frac{1}{u}\bigg).
Dividindo por -\dfrac{\ell^{2}}{m}u^{2} chegamos à forma usual da equação de Binet:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=-\frac{m}{\ell^{2}}\frac{F(1/u)}{u^{2}}.
(Resumo: essa é a equação que relaciona a força central F(r) com a função u(\theta)=1/r(\theta).)

Passo 3

Agora substituímos a força dada F(r)=-\dfrac{k}{r^{2}}+\dfrac{\lambda}{r^{3}}. Como r=1/u temos
F(1/u)=-k u^{2}+\lambda u^{3}.
Inserindo em Binet:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u = -\frac{m}{\ell^{2}}\frac{-k u^{2}+\lambda u^{3}}{u^{2}} = -\frac{m}{\ell^{2}}\big(-k+\lambda u\big).
Simplificando os sinais:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=\frac{m k}{\ell^{2}}-\frac{m\lambda}{\ell^{2}}\,u.
Agora agrupamos os termos em u no lado esquerdo:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+\Big(1+\frac{m\lambda}{\ell^{2}}\Big)u=\frac{m k}{\ell^{2}}.
Definimos
\beta^{2}:=1+\frac{m\lambda}{\ell^{2}},\qquad\text{com }\beta>0,
assim a equação fica simples:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+\beta^{2}u=\frac{m k}{\ell^{2}}.

Passo 4

Resolvemos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+\beta^{2}u=\frac{m k}{\ell^{2}}.
Uma solução particular constante é
u_{p}=\frac{m k}{\beta^{2}\ell^{2}}.
A solução geral é soma da particular com a solução homogênea. A homogênea é combinação de cosseno e seno:
u(\theta)=u_{p}+A\cos(\beta\theta)+B\sin(\beta\theta).
Podemos reescrever as constantes A,B em amplitude e fase: existem \tilde A>0 e \theta_{0} tais que
u(\theta)=\frac{m k}{\beta^{2}\ell^{2}}+\tilde A\cos(\beta\theta-\theta_{0}).
Agora introduzimos a constante adimensional \epsilon\ge0 definindo
\epsilon:=\frac{\tilde A\,\beta^{2}\ell^{2}}{m k},
ou seja \tilde A=(m k/(\beta^{2}\ell^{2}))\epsilon. Substituindo:
u(\theta)=\frac{m k}{\beta^{2}\ell^{2}}\big[1+\epsilon\cos(\beta\theta-\theta_{0})\big].
Invertendo u=1/r e redefinindo a origem angular (podemos deslocar \theta para eliminar \theta_{0}, isto é escolher o eixo de referência tal que o cosseno fique \cos(\beta\theta)), obtemos
\frac{1}{r(\theta)}=\frac{1}{\alpha}\big[1+\epsilon\cos(\beta\theta)\big],
onde
\alpha:=\frac{\beta^{2}\ell^{2}}{m k}.
Portanto finalmente
r(\theta)=\frac{\alpha}{1+\epsilon\cos(\beta\theta)}.
Isto conclui a prova da forma pedida no item (a). Observações sobre as constantes: \beta>0 por definição; \alpha>0 porque m,k,\ell,\beta>0; e \epsilon\ge0 depende das condições iniciais (velocidade radial/posição inicial) — podemos escolher \epsilon>0 por convenção de amplitude.

Passo 5

Agora explicitamos \alpha e \beta em termos dos parâmetros do problema:
\boxed{\beta=\sqrt{1+\dfrac{m\lambda}{\ell^{2}}},\qquad \boxed{\alpha=\dfrac{\beta^{2}\ell^{2}}{m k}=\dfrac{\ell^{2}}{m k}\Big(1+\dfrac{m\lambda}{\ell^{2}}\Big).}}
Comentário sobre \epsilon: \epsilon é uma constante adimensional determinada pelas condições iniciais (é proporcional à amplitude da solução homogênea); em geral 0\le\epsilon. No que segue assumimos 0<\epsilon<1.
Descrição geométrica para 0<\epsilon<1:
  • O denominador 1+\epsilon\cos(\beta\theta) varia entre 1-\epsilon e 1+\epsilon, então r(\theta) é limitada e positiva, com raio mínimo e máximo r_{\min}=\frac{\alpha}{1+\epsilon},\qquad r_{\max}=\frac{\alpha}{1-\epsilon}.Assim a órbita é um movimento ligado (a partícula fica confinada entre essas duas circunferências).
  • A forma lembra uma conica “precessante”: se \beta=1 obteríamos exatamente uma cônica (elipse para \epsilon<1), mas para \beta\neq1 a figura é uma rosa/rosácea précessante — uma curva que, ao girar \theta, tem pericentros repetindo quando \beta\theta muda de 0 para 2\pi.
  • A separação angular entre pericentros sucessivos é \Delta\theta=\dfrac{2\pi}{\beta}. Portanto, ao completar uma volta própria de 2\pi em \theta, o pericentro desloca-se (précessa) de uma quantidade 2\pi(1-\tfrac{1}{\beta}) (para \beta>1 a precessão é no sentido direto).

Passo 6

Condição de órbita fechada e limite \lambda\to0.
Quando a curva se fecha? A função r(\theta) é periódica em \theta com período T_{\theta} tal que \beta T_{\theta}=2\pi n para algum inteiro n (ou seja, T_{\theta}=2\pi n/\beta). Para que a trajetória espacial em coordenadas polares termine exatamente no mesmo ponto de partida (mesmo r e mesmo ângulo \theta modulo 2\pi), precisamos que após um número inteiro q de revoluções em \theta (aumentos de \theta por 2\pi q) a função r recupere o mesmo valor sem que o ângulo polar difira senão por múltiplo de 2\pi. A condição necessária e suficiente é que \beta seja racional, isto é
\beta=\frac{p}{q}\quad\text{com \(p,q\in\mathbb{Z}\) positivos, em forma irredutível.}í
Se \beta=p/q então após q voltas em \theta (aumentos de 2\pi q) o argumento \beta\theta aumenta por 2\pi p e a função r repete exatamente; a posição angular também difere por um inteiro múltiplo de 2\pi, portanto a curva fecha. Se \beta é irracional a órbita não fecha e tende a preencher densamente a faixa entre r_{\min} e r_{\max}.
No limite \lambda\to0 temos
\beta=\sqrt{1+\frac{m\lambda}{\ell^{2}}}\longrightarrow 1,
e
\alpha=\frac{\beta^{2}\ell^{2}}{m k}\longrightarrow \frac{\ell^{2}}{m k}.
Portanto quando \lambda\to0 recuperamos a lei do problema de força puramente inversa-quadrado: \beta\to1 e a órbita passa a ser exatamente uma cônica clássica r(\theta)=\dfrac{\alpha}{1+\epsilon\cos\theta}. Para \epsilon<1 isto é uma elipse fechada — ou seja o resultado coincide com o caso de Kepler (órbita fechada sem precessão).

Resposta

(a) r(\theta)=\dfrac{\alpha}{1+\epsilon\cos(\beta\theta)} (com \alpha,\beta,\epsilon>0), derivada acima.
(b) \displaystyle \beta=\sqrt{1+\dfrac{m\lambda}{\ell^{2}}},\qquad \displaystyle \alpha=\dfrac{\beta^{2}\ell^{2}}{m k}=\dfrac{\ell^{2}}{m k}\Big(1+\dfrac{m\lambda}{\ell^{2}}\Big).
Para 0<\epsilon<1 a órbita é limitada entre r_{\min}=\dfrac{\alpha}{1+\epsilon} e r_{\max}=\dfrac{\alpha}{1-\epsilon} (movimento ligado) e apresenta précessão dos pericentros, com separação angular entre pericentros \Delta\theta=\dfrac{2\pi}{\beta}.
(c) A órbita é fechada exatamente quando \beta é racional: \beta=\dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}_{+}. No limite \lambda\to0 tem-se \beta\to1 e \alpha\to\dfrac{\ell^{2}}{m k}, recuperando as cônicas de Kepler (para \epsilon<1, elipse fechada).

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