Uma partícula de massa
move-se com momentum angular
em um campo de força central dado por
onde
.
a) A partir da equação do movimento radial prove que a órbita tem a forma
onde
e
são constantes positivas.
b) Encontre
e
em termos dos parâmetros do problema e descreva a órbita para o caso
.
c) Para que valores de
a órbita é fechada? O que acontece com seu resultado quando
?
a) A partir da equação do movimento radial prove que a órbita tem a forma
b) Encontre
c) Para que valores de
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
que se move sob uma força central radial
com
e
. O momento angular da partícula é
(constante). O que o enunciado pede:
- (a) A partir da equação do movimento radial, provar que a órbita pode ser escrita na forma
com . - (b) Encontrar
e em termos de e descrever a forma da órbita quando . - (c) Determinar para que valores de
a órbita é fechada e o que acontece com essa condição quando .
Informações relevantes fornecidas:
- Força radial
dada acima. - Momento angular
constante (conservação do momento angular). -
. - A forma proposta da órbita é racional em
e envolve constantes .
Passo 2
Vamos deduzir a equação de movimento radial e transformar para a variável
com
. Primeiro, escrevemos a equação radial de Newton em coordenadas polares:
Aqui
denota derivada em relação ao tempo
. A conservação do momento angular dá
Agora vamos reescrever o termo
em função de
e derivadas em relação a
. Usamos
. Primeiro, note que
, então
Calculamos
a partir de
:
Agora substituímos; depois de simplificar (as contas padrão podem ser feitas explicitamente, seguir a linha abaixo é suficiente para chegar à identidade conhecida) obtemos a identidade útil
Esta identidade é a base do que chamamos de fórmula de Binet. Multiplicando por
e igualando à força:
Dividindo por
chegamos à forma usual da equação de Binet:
(Resumo: essa é a equação que relaciona a força central
com a função
.)
Passo 3
Agora substituímos a força dada
. Como
temos
Inserindo em Binet:
Simplificando os sinais:
Agora agrupamos os termos em
no lado esquerdo:
Definimos
assim a equação fica simples:
Passo 4
Resolvemos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Uma solução particular constante é
A solução geral é soma da particular com a solução homogênea. A homogênea é combinação de cosseno e seno:
Podemos reescrever as constantes
em amplitude e fase: existem
e
tais que
Agora introduzimos a constante adimensional
definindo
ou seja
. Substituindo:
Invertendo
e redefinindo a origem angular (podemos deslocar
para eliminar
, isto é escolher o eixo de referência tal que o cosseno fique
), obtemos
onde
Portanto finalmente
Isto conclui a prova da forma pedida no item (a). Observações sobre as constantes:
por definição;
porque
; e
depende das condições iniciais (velocidade radial/posição inicial) — podemos escolher
por convenção de amplitude.
Passo 5
Agora explicitamos
e
em termos dos parâmetros do problema:
Comentário sobre
:
é uma constante adimensional determinada pelas condições iniciais (é proporcional à amplitude da solução homogênea); em geral
. No que segue assumimos
.
Descrição geométrica para
:
- O denominador
varia entre e , então é limitada e positiva, com raio mínimo e máximo Assim a órbita é um movimento ligado (a partícula fica confinada entre essas duas circunferências). - A forma lembra uma conica “precessante”: se
obteríamos exatamente uma cônica (elipse para ), mas para a figura é uma rosa/rosácea précessante — uma curva que, ao girar , tem pericentros repetindo quando muda de para . - A separação angular entre pericentros sucessivos é
. Portanto, ao completar uma volta própria de em , o pericentro desloca-se (précessa) de uma quantidade (para a precessão é no sentido direto).
Passo 6
Condição de órbita fechada e limite
.
Quando a curva se fecha? A função
é periódica em
com período
tal que
para algum inteiro
(ou seja,
). Para que a trajetória espacial em coordenadas polares termine exatamente no mesmo ponto de partida (mesmo
e mesmo ângulo
modulo
), precisamos que após um número inteiro
de revoluções em
(aumentos de
por
) a função
recupere o mesmo valor sem que o ângulo polar difira senão por múltiplo de
. A condição necessária e suficiente é que
seja racional, isto é
Se
então após
voltas em
(aumentos de
) o argumento
aumenta por
e a função
repete exatamente; a posição angular também difere por um inteiro múltiplo de
, portanto a curva fecha. Se
é irracional a órbita não fecha e tende a preencher densamente a faixa entre
e
.
No limite
temos
e
Portanto quando
recuperamos a lei do problema de força puramente inversa-quadrado:
e a órbita passa a ser exatamente uma cônica clássica
. Para
isto é uma elipse fechada — ou seja o resultado coincide com o caso de Kepler (órbita fechada sem precessão).
Resposta
(a)
(com
), derivada acima.
(b)
Para a órbita é limitada entre
e
(movimento ligado) e apresenta précessão dos pericentros, com separação angular entre pericentros
.
Para
(c) A órbita é fechada exatamente quando
é racional:
com
. No limite
tem-se
e
, recuperando as cônicas de Kepler (para
, elipse fechada).